(Remedial) Soal Trigonometri

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Shalom

Om Swastiastu

Namo Buddhaya

Rahayu

Salam Kebajikan

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya memberikan contoh soal dengan indicator yang ada, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 10 di Sekolah Menengah Atas 63 Jakarta. Saya bukan siapa siapa, saya hanya menyukai hal yang pemerintahan atau mungkin juga dikatakan politik dengan seni dan manuver yang berlika-liku. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

3.7 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat dan derajat ke radian

3.7.1 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri radian ke derajat

Contoh Soal 1

Contoh Soal 2

Ubahlah  sudut-sudut berikut dalam derajat
π/ 3 radian  =  π/3 . 180°/π  =  60°
4π radian  =  4π . 180°/π  =  720°

3.7.2 Menyelesaikan cara merubah satuan pengukuran sudut trigonometri derajat ke radian

Contoh Soal 1

3.7 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan sudut istimewa (60⁰ , 30⁰ , 45⁰ )

3.7.1 Menyelesaikan rasio trigonometri (sinus, cosinus, tangen, cosecan, secan, dan cotangen) pada segitiga siku-siku dan pada sudut istimewa (60⁰ , 30⁰ , 45⁰ )

Contoh Soal 1

Pada gambar di samping segitiga siku-siku ABC dengan panjang a=8 dan c= 10. Tentukan keenam perbandingan trigonometri untuk a.

Penyelesaian:

Nilai b dihitung dengan teorema Pythagoras

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Contoh Soal 2

3.7 Menyelesaikan nilai trigonometri pada suatu sudut segitiga siku-siku pada koordinat cartesius

Contoh Soal 1

Perhatikan gambar diatas! Cos θ= . . . .

x=7, y=−24, r=25 (Phytagoras)
Koordinat Cartesius → cos=absis/radius
cosθ=x/r=7/25 

3.7 Menyelesaikan komposisi operasi (+, -, :, dan •) nilai trigonometri

Contoh Soal 1

 

Contoh soal 2

Contoh soal 3

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran

Contoh Soal 1

1. Untuk perbandingan trigonometri berikut, nyatakanlah dalam perbandingan trigonometri sudut komplemennya

1.      sin 20°

2.      tan 40°

3.      cos 53°

Jawab :

1.      sin 20° = sin (90° − 70°) = cos 70°

2.      tan 40° = tan (90° − 50°) = cot 50°

3.      cos 53° = cos (90° − 37°) = sin 37°

Contoh Soal 2

3.8 Menyelesaikan rasio trigonometri untuk sudut-sudut berelasi (kuadrat: I, II, III, IV), sudut negatif, dan sudut > 360⁰

Contoh Soal 1

1. Nyatakan setiap perbandingan trigonometri berikut dalam sudut 37° !

tan 143°
sin 233°
cos 323°

Jawab :
Sudut 143° terletak pada kuadran II, sehingga tan 143° bernilai negatif.
tan 143° = tan (180° − 37°)
tan 143° = -tan 37°

Sudut 233° terletak pada kuadran III, sehingga sinus bernilai negatif.
sin 233° = sin (270° − 37°)
tan 233° = -cos 37°
Perhatikan bahwa sin berubah menjadi cos karena relasi yang digunakan (270° −  α)

Sudut 323° terletak pada kuadran IV, sehingga cosinus bernilai positif.
cos 323° = cos (360° − 37°)
cos 323° = cos 37°

3.8 Menyelesaikan persamaan trigonometri sederhana atau persamaan indentitas trigonometri = rumus identitas trigonometri

Contoh Soal 1

 

Contoh Soal 2

 

3.8 Menyelesaikan Koordinat kutub ke koordinat kartesius, koordinat kartesius ke koordinat kutub

Contoh Soal 1

Apabila tan 9°= p. Tentukanlah nilai dari tan 54°

Jawaban:
tan 54° = tan (45° + 9°)
= tan 45° + tan 9°/1 – tan 45° x tan 9°
= 1 + p/1 – p

Sehingga, hasil nilai dari tan 54° adalah = 1 + p/1 – p

3.8 Menyelesaikan soal cerita perbandingan trigonometri

Contoh Soal 1

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 2 sudut dan 1 sisi

Contoh Soal 1

3.9 Menyelesaikan aturan sinus diketahui 1 sudut dan 2 sisi

Contoh Soal 1

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sisi

Contoh Soal 1

3.9 Menyelesaikan aturan cos ditanya sudut

Contoh Soal 1

3.9 Menyelesaikan Luas segitiga jika diketahui: 1 sudut 2 sisi, 3 sisi, 2 sudut 1 sisi

Contoh Soal 1

Segitiga ABC dengan ukuran diperlihatkan gambar diatas.  Tentukan luas segitiga!
Pembahasan
Satu sudut diketahui beserta dua sisi pengapitnya, gunakan rumus dari kelompok 2.

Contoh Soal 2

Segitiga samasisi ABC dengan panjang sisi 12 cm diperlihatkan gambar berikut!

Pembahasan
Ambil garis tinggi dari segitiga

Phytagoras saat mencari tinggi segitiga

Luas segitiga dengan rumus pertama:

3.10 Menyelesaikan gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Contoh Soal 1

Grafik fungsi f(x)=−2cos3x,−π≤x≤π adalah ⋯⋅

Bentuk umum fungsi cosinus adalah f(x)=a cos kx. Oleh karena f(x)=−2cos3x, maka a=−2 dan k=3.
Amplitudo grafiknya adalah −(−a)=a=2 dan saat x=0∘, nilai fungsinya adalah f(0)=−2cos3(0)=−2(1)=−2,
sehingga pilihan B, D, E tereliminasi.
Karena k=3, maka periode fungsinya adalah
k=2π/Periode

3=2π/Periode⇔Periode=2/3π
periode grafiknya dapat dilihat dengan observasi berikut: dari titik x=0 ke titik x=π terdapat 1,5 gelombang (1,5 lembah; 1,5 bukit), sehingga periodenya adalah π−01,5=23π
Jadi, grafik fungsi f(x)=−2cos3x adalah

3.10 Menyelesaikan membaca gambar fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Contoh Soal 1

Fungsi yang sesuai dengan grafik berikut adalah ⋯⋅

Beranjak dari grafik sinus: karena kurva bergeser (ke kiri) sejauh π2, maka bentuk umum grafik fungsinya adalah f(x)=y=asink(x−c).
Untuk grafik ini, nilai c yang menentukan pergeseran kurva adalah −π2 (tandanya negatif, karena grafik bergeser ke kiri).
Dimulai dari titik x=−π2 yang nilai fungsinya 0, grafik fungsi kembali bernilai 0 dan berulang kembali di titik x=3π/2, sehingga periode grafik fungsinya adalah 3π/2–(−π/2)=2π.
Dengan demikian,
k=2π/Periode=2π/2π=1
Nilai a ditentukan oleh nilai maksimum dan nilai minimum fungsi, yakni
a=N. Maksimum−N. Minimum/2=2−(−2)/2=2

Jadi, rumus grafik fungsinya adalah f(x)=2sin1(x+π2)=2sin(x+π2)

3.10 Menyelesaikan Range nilai fungsi trigonometri f(x) = sin x, f(x) = cos x, f(x) = tan x, f(x) = csc x, f(x) = sec x, f(x) = cot x

Contoh Soal 1

Carilah turunan f'(x) dari fungsi-fungsi trigonometri dibawah ini :
a. f(x) = 4 sin x
b. f(x) = 3 cos x
c. f(x) = -2 cos x
d. f(x) = 2 sec x
e. f(x) = 2 csc x

Pembahasan

a. f(x) = 4 sin x → f'(x) = 4 cos x
b. f(x) = 3 cos x → f'(x) = -3 sin x
c. f(x) = -2 cos x → f'(x) = -2 (-sin x) → f'(x) = 2 sin x
d. f(x) = 2 sec x → f'(x) = 2 sec x . tan x
e. f(x) = 2 csc x → f'(x) = 2 (-csc x . cos x) → f'(x) = -2 csc x . cot x

3.7 Menyelesaikan sudut elevasi, sudut depresi

Contoh Soal 1

Seekor kelinci yang berada di lubang tanah tempat persembunyiannya melihat seekor elang yang sedang terbang dengan sudut 60∘ (lihat gambar). Jika jarak antara kelinci dan elang adalah 18 meter, maka tinggi elang dari atas tanah adalah ⋯⋅ meter.

Jika dilihat dari gambar, sisi depan sudut 60∘ ditanyakan panjangnya dan sisi miring segitiga (hipotenusa) diketahui panjangnya. Dengan demikian, perbandingan trigonometri yang dapat digunakan adalah sinus, yakni
sin60∘=x/18

1/2√3=x/18

x=18×1/2√3=9√3

Jadi, tinggi elang dari atas tanah adalah 9√3 meter.

Contoh Soal 2

Perhatikan gambar di bawah ini.

Diketahui seseorang yang berada di atas mercusuar dengan tinggi 45√3 meter sedang mengamati sebuah objek di bawahnya dengan jarak antara objek dan mercusuar sejauh 135 meter. Sudut depresi yang terbentuk adalah ⋯⋅

Perhatikan gambar berikut.

Besar ∠ABC sama dengan sudut α∘ karena saling berseberangan. Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh
tanα∘=45√3 /135=1/3√3⇒α∘=30∘
Jadi, sudut depresi yang terbentuk adalah 30∘

Contoh Soal 3

Seorang anak yang memiliki tinggi badan 155 cm (terukur sampai ke mata) berdiri pada jarak 12 m dari tiang bendera. Ia melihat puncak tiang bendera dengan sudut elevasi 45∘. Tinggi tiang bendera itu adalah ⋯⋅
Perhatikan sketsa gambar berikut.

Dengan menggunakan konsep tangen, diperoleh tan 45 derajat = BC/AC

BC=AC×tan45∘

BC=12×1=12
Tinggi tiang bendera (t) adalah jumlah dari panjang BC dengan tinggi anak itu (yang terukur sampai mata), yaitu t=12+1,55=13,55 m.
Catatan: 155 cm = 1,55 m.
Jadi, tinggi tiang bendera tersebut adalah 13,55 meter

Contoh Soal 4

Perhatikan gambar berikut!

Gambar di atas menunjukkan seorang anak yang berada pada jarak 32 meter dari kaki sebuah gedung. Ia mengamati puncak gedung dan helikopter di atasnya dengan sudut elevasi masing-masing 30∘ dan 45∘. Hitunglah tinggi helikopter tersebut dari atas gedung.

Perhatikan sketsa gambar berikut.

Ketinggian helikopter dari atas gedung adalah panjang CD.

Tinjau segitiga ABC. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
tan30∘=BC/AB

BC=tan30∘×AB

BC=13√3×32=323√3 m
Berikutnya, tinjau segitiga ABD. Dengan menggunakan konsep tangen, kita peroleh
tan45∘=BD/AB

BD=tan45∘×AB

BD=1×32=32 m

Dengan demikian, diperoleh
CD=BD−BC

=32−323√3

=32(1−1/3√3) m

Jadi, tinggi helikopter dari atas gedung itu adalah 32(1−1/3√3) meter

3.10 Menyelesaikan fungsi trigonometri dengan menggunakan lingkaran satuan untuk menentukan periode maksimum dan minimum 

Contoh Soal 1  

Tentukan nilai minimum fungsi f(x)=13x3+12x2−2x+3 ?
Penyelesaian :
*). Fungsi awal : f(x)=13x3+12x2−2x+3
f′(x)=x2+x−2 dan f′′(x)=2x+1
*). Menentukan nilai x dari syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=0→x2+x−2=0→(x+2)(x−1)=0→x=−2∨x=1 .
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
untuk x=−2→f′′(−2)=2.(−2)+1=−3 (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai x=−2 menyebabkan fungsinya maksimum.
untuk x=1→f′′(1)=2.(1)+1=3 (positif), jenisnya minimum. Artinya nilai x=1 menyebabkan fungsinya minimum.
*). Menentukan nilai minimum saat x=1 , substitusi ke fungsi awal
fmin=f(1)=13.13+12.12−2.1+3=116
Jadi, nilai maksimum fungsi f(x)=13x3+12x2−2x+3 adalah 116 pada saat x=1 .

Contoh Soal 2 

Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x)=−x2+4x+3 ?

Penyelesaian :
*). Fungsi awal : f(x)=−x2+4x+3
f′(x)=−2x+4 dan f′′(x)=−2
*). Menentukan nilai x dari syarat stasioner : f′(x)=0
f′(x)=0→−2x+4=0→x=2 .
*). Menentukan jenis stasionernya : gunakan turunan kedua.
untuk x=4→f′′(2)=−2 (negatif), jenisnya maksimum. Artinya nilai x=2 menyebabkan fungsinya maksimum.
*). Menentukan nilai maksimum saat x=2 , substitusi ke fungsi awal
fmaks=f(2)=−(2)2+4.2+3=7

Jadi, nilai maksimum fungsi f(x)=−x2+4x+3 adalah 7 pada saat x=2 .

Oke, jadi sekarang kita sudah menguasai berbagai macam soal mengenai Trigonometri. Semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkati tuhan yang maha esa.
Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam