Pengertian Matriks, Macam-macam Matriks, Operasi Matriks dan Contoh Soal

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

ﺇِﻥَّ ﺍﻟْﺤَﻤْﺪَ ﻟِﻠَّﻪِ ﻧَﺤْﻤَﺪُﻩُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻌِﻴْﻨُﻪُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻐْﻔِﺮُﻩْ ﻭَﻧَﻌُﻮﺫُ ﺑِﺎﻟﻠﻪِ ﻣِﻦْ ﺷُﺮُﻭْﺭِ ﺃَﻧْﻔُﺴِﻨَﺎ ﻭَﻣِﻦْ ﺳَﻴِّﺌَﺎﺕِ ﺃَﻋْﻤَﺎﻟِﻨَﺎ، ﻣَﻦْ ﻳَﻬْﺪِﻩِ ﺍﻟﻠﻪُ ﻓَﻼَ ﻣُﻀِﻞَّ ﻟَﻪُ ﻭَﻣَﻦْ ﻳُﻀْﻠِﻞْ ﻓَﻼَ ﻫَﺎﺩِﻱَ ﻟَﻪُ. ﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻻَ ﺇِﻟَﻪَ ﺇِﻻَّ ﺍﻟﻠﻪ ﻭَﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻣُﺤَﻤَّﺪًﺍ ﻋَﺒْﺪُﻩُ ﻭَﺭَﺳُﻮْﻟُﻪُ.

Sebelum saya membahas "Soal Cerita untuk menentukan Nilai Optimum", Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (27) murid kelas XI IPS 2 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Follow instagram @paisalts_.

 

LANGSUNG AJAA YOKKK.....................

 

 

PENGERTIAN MATRIKS  

 

        Matriks merupakan susunan sekelompok bilangan didalam suatu jajaran yang berbentuk persegi panjang dan diatur berdasarkan baris dan kolom yang kemudian diletakkan antara 2 tanda kurung. Tanda kurung yang dipakai untuk mengapit susunan anggota matriks tersebut bisa berupa tanda kurung biasa atau kurung siku. Bilangan pada matriks disebut elemen atau unsur matriks. Berdasarkan susunannya, kumpulan elemen matriks dibedakan menjadi dua macam, yaitu :

• Baris    : kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara horizontal
• Kolom : kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara vertikal
  

        Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut dengan matriks m x n dan disebut sebagai matriks yang memiliki orde m x n. Selain itu, penulisan matriks menggunakan huruf kapital dan tebal.

Dalam matematika, matriks merupakan susunan bilangan, simbol, atau disebut dengan ekspresi, yang disusun dalam baris &  kolom sehingga membentuk bangun persegi. Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini ialah 2 × 3, karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom.

MACAM-MACAM MATRIKS 

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1  4) atau B = (3  7  9) adalah matriks baris

 atau  adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

 adalah matriks persegi berordo 3, atau

 adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks untuk atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks  untuk  atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

 adalah matriks segitiga atas,

 adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks  untuk  atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

atau

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

 atau

6. Matriks Indentitas

Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang mana seluruh elemen pada diagonal utamanya adalah 1. Matriks identitas pada umunya dinotasikan dengan I. Contoh matriks indentitas seperti berikut :

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen  sama dengan elemen .

Contoh:

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

8. Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi A^T. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

Contoh:

ditranspose menjadi .

Sifat dari transpose matriks: .

 

Operasi Matriks

Operasi dasar seperti penjumlahan dan perkalian erat sekali berhubungan dengan matriks. Namun, operasi tersebut tidak selalu dapat langsung diterapkan, karena matriks lebih rumit daripada angka.

A. Penjumlahan Matrik

 

Bagaimana cara menjumlahkan dua atau lebih matriks? Untuk memahami penjumlahan matriks, maka perhatikan tabel di bawah ini.

 

 

Tabel di atas menunjukkan daftar pendapatan dari tiket masuk kebun binatang pada bulan pertama dan bulan kedua yang terbagi dalam 2 kelompok, yaitu dewasa dan anak-anak, pada hari biasa dan hari libur. Jika data di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:

Jadi kalian dapat menyelesaikan persoalan ini jauh lebih mudah dibandingkan cara biasa. Untuk lebih jelasnya lihat animasi berikut:

 

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Penjumlahan Matriks

Dari animasi di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan jika kedua matriks mempunyai ordo yang sama
2. Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian. Elemen baris-1 kolom-1 matriks pertama dijumlahkan dengan elemen baris-1 kolom-1 matriks ke-2 dan menjadi elemen baris-1 kolom-1 matriks hasil operasi dan seterusnya.

 

Secara umum operasi penjumlahan dua matriks adalah :

 

 

atau secara umum penjumlahan matriks dapat dinyatakan dengan

 

 

Untuk lebih jelasnya coba kalian perhatikan contoh berikut ini!

 

 

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa sifat-sifat penjumlahan matriks adalah:

 

 

 

Perhatikanlah contoh berikut ini!

 

 

Dari contoh di atas elemen-elemen matriks hasil penjumlahan semuanya bernilai nol. Matriks yang semua elemennya bernilai nol disebut matriks nol, sedangkan kedua matriks yang dijumlahkan disebut matriks yang saling berlawanan. Matriks nol umumnya dinotasikan dengan O.

 

Jika matriks A + B = O maka B berlawanan dengan A, sehingga B = -A dan A = -B Jika matriks B adalah lawan dari matriks A maka semua elemen matriks B yang seletak berlawanan dengan elemen matriks A.

 

 

 

B. Pengurangan Matriks

 

Operasi lainnya dalam operasi matriks yaitu pengurangan matriks. Bagaimana cara melakukan pengurangan matriks? Untuk operasi pengurangan dilakukan dengan cara yang sama, bedanya operasi yang digunakan adalah pengurangan. Coba kalian perhatikan animasi berikut ini!

 

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Pengurangan Matriks

Bagaimana pendapat kalian berdasarkan animasi pengurangan matriks tersebut? Secara umum operasi pengurangan dua matriks adalah:

 

 

atau secara umum pengurangan matriks dapat dinyatakan dengan

 

 

Operasi pengurangan juga dapat dilakukan dengan menjumlahkan matriks pertama dengan lawan matriks kedua.

 

A - B = A + (-B)

 

-B disebut invers jumlah atau lawan matriks B. Matriks O, matriks yang semua elemen bernilai 0 adalah matriks Identitas operasi penjumlahan.

 

Sehingga berlaku persamaan

Selanjutnya perhatikanlah contoh berikut ini!

 

 

Berdasarkan contoh-contoh yang diberikan di atas, apakah sudah jelas cara melakukan operasi pengurangan matriks? Kalian dapat mencari contoh-contoh pengurangan matriks lainnya sebagai bahan latihan!

 

 

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

 

Apa yang dimaksud dengan perkalian matriks dengan bilangan skalar? Sebelum penjelasan lebih lanjut, untuk memahami kegunaan operasi perkalian matriks dengan bilangan skalar, perhatikan tabel berikut:

 

Gaji Karyawan Perusahaan Bulan Januari

 

 

 

Jumlah Gaji Karyawan Bulan Januari, Februari, dan Maret

dengan Tidak Ada Perubahan dalam 3 Bulan

 

 

sehingga dalam bentuk matriks, menjadi:

 

 

Sehingga secara umum perkalian sebuah matriks dengan bilangan skalar adalah mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan skalar yang dimaksud

 

dengan k bilangan skalar atau bilangan konstan

 

atau dalam bentuk terperinci

 

 

Untuk jelasnya perhatikan animasi berikut!

 

 

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Selanjutnya kalian perhatikan contoh berikut ini!

Contoh:

 

Dari contoh di atas dapat ditunjukkan bahwa pada perkalian bilangan skalar dengan matriks bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan, secara umum dapat dinyatakan dengan

 

Sifat-Sifat Operasi Matriks

Catatan : Pada pembahasan sifat-sifat operasi kali ini dapat dilakukan dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks yang dioperasikan disesuaikan dengan ketentuan dari setiap operasi.

1. Terhadap Operasi Penjumlahan

Misalkan terdapat matriks $A, B, C$ dan matriks nol $O$ sedemikian rupa sehingga berlaku :

• $A+B=B+A$
• $A+(B+C)=(A+B)+C$
• $A+O =O+A=A$
• $A+(-A)=-A+A=O$

2. Terhadap Operasi Perkalian

Misalkan terdapat matriks $A, B, C,$ matriks nol $O,$ matriks identitas $I$ dan $m,n$ sembarang bilangan bulat yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

• $AB\neq BA$
• $(AB)C=A(BC)$
• $AI=IA=A$
• $AO=OA=O$
• $A^m A^n=A^{m+n}~\text{dan}~(A^m)^n=A^{mn}$
• $A^x=\begin{cases}I & \text{ jika } x= 0\\\underbrace{AA\dots A}_{x~faktor}& \text{ jika } x\in \mathbb{N}\end{cases}$

• $\begin{array}{ll}& \text{ jika }x=0\\ AA\dots A& \\ & \text{ jika }x\in \mathbb{N}\end{array}$
• $\text{jika matriks diagonal}~A_{n \times n}=\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&0&\dots&0\\0&a_{22}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&a_{nn}\end{array}}\right],~\text{maka}~A^k=\left[{\begin{array}{cccc}(a_{11})^k&0&\dots&0\\0&(a_{22})^k&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&(a_{nn})^k\end{array}}\right]$
• $\text{jika}~AB=O~\text{maka tidak selalu}~A=O~\text{atau}~B=O~\text{atau}~BA=O$

3. Terhadap Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar

Misalkan terdapat matriks $A, B, C,$ dan $m,n$ sembarang skalar (riil atau kompleks) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

• $A(B+C)=AB+AC$
• $(B+C)A=BA+CA$
• $m(A+B)=mA+mB$
• $(m+n)A=mA+nA$
• $(mn)A=m(nA)$
• $m(BC)=(mB)C=B(mC)$

4. Terhadap Operasi Transpose

Misalkan terdapat matriks $A, B,$ dan $\alpha$ sembarang skalar (riil atau kompleks) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

• $(A+B)^T=A^T+B^T$
• $(\alpha A)^T=\alpha A^T$
• $(A^T)^T=A$
• $(AB)^T=B^T A^T$

5. Terhadap Operasi Trace

Misalkan terdapat matriks $A, B, I\text{(Identitas)}$ dan $\alpha$ sembarang skalar (riil atau kompleks) dan sembarang bilangan bulat $n$ yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

• $tr(\alpha A)=\alpha (tr(A))$
• $tr(A+B) = tr(A)+tr(B)$
• $tr(AB)=tr(BA)$
• $tr(A^T)=tr(A)$
• $tr(I_{n \times n})= n$

CONTOH SOAL MATRIKS

 

 

SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

ﺇِﻥَّ ﺍﻟْﺤَﻤْﺪَ ﻟِﻠَّﻪِ ﻧَﺤْﻤَﺪُﻩُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻌِﻴْﻨُﻪُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻐْﻔِﺮُﻩْ ﻭَﻧَﻌُﻮﺫُ ﺑِﺎﻟﻠﻪِ ﻣِﻦْ ﺷُﺮُﻭْﺭِ ﺃَﻧْﻔُﺴِﻨَﺎ ﻭَﻣِﻦْ ﺳَﻴِّﺌَﺎﺕِ ﺃَﻋْﻤَﺎﻟِﻨَﺎ، ﻣَﻦْ ﻳَﻬْﺪِﻩِ ﺍﻟﻠﻪُ ﻓَﻼَ ﻣُﻀِﻞَّ ﻟَﻪُ ﻭَﻣَﻦْ ﻳُﻀْﻠِﻞْ ﻓَﻼَ ﻫَﺎﺩِﻱَ ﻟَﻪُ. ﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻻَ ﺇِﻟَﻪَ ﺇِﻻَّ ﺍﻟﻠﻪ ﻭَﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻣُﺤَﻤَّﺪًﺍ ﻋَﺒْﺪُﻩُ ﻭَﺭَﺳُﻮْﻟُﻪُ.

Sebelum saya membahas "Soal Cerita untuk menentukan Nilai Optimum", Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (27) murid kelas XI IPS 2 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Follow instagram @paisalts_.

 

LANGSUNG AJAA YOKKK.....................

 
SOAL

Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m. Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari  Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak …

DIKETAHUI :

Model 1 = Kain polos 1 meter dan kain bergaris 1,5 meter

Model 2 = Kain polos 2 meter dan kain bergaris 0,5 meter

Persediaan = Kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter

Laba = Model 1 tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model 2 tidak kurang dari Rp. 10.000,00

DITANYA :  

Berapa laba yang diperoleh ...

JAWABAN :

Model 1 : x

Model 2 : y

Diperjelas dengan tabel sebagai berikut.

	Kain polos	Kain bergaris
Model 1 (x)	1x	1,5x
Model 2 (y)	2y	0,5y
Persediaan	20	10

Persamaan :

1x + 2y = 20 (Kain Polos)

1,5x + 0.5y = 10 (Kain Bergaris)

Untuk mengetahui hasilnya lebih lanjut, Substitusi dan Eliminasi kedua pertidaksamaan tersebut, sebagai berikut;

 

 

 

Dapat disimpulkan bahwa X = 4 dan Y = 8

Untuk mengetahui berapa Laba yang didapatkan bisa diketahui dengan cara sebagai berikut;

Laba Total : laba model 1(x) + laba model 2(y)

Laba = 15.000x + 10.000y

Karena nilai x dan y sudah ditemukan dengan cara substitusi dan elimanasi pertidaksamaan kain polos dan kain bergaris. Selanjutnya tinggal memasukkan nilai x dan y ke dalam Laba = 15.000x + 10.000y, sebagai berikut;

 

 

 

 

Jadi, Laba yang Dewi dapatkan adalah Rp.140.000,00

Oke, jadi itu adalah pembahasan Soal Cerita untuk menentukan Nilai Optimum. Semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkahi tuhan yang maha esa dan dilancarkan segala urusan.

Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

اللَّهُمَّ أَنْتَ السَّلاَمُ وَمِنْكَ السَّلاَمُ تَبَارَكْتَ ذَا الْجَلاَلِ وَالإِكْرَامِ

اَللهُمَّ اِنَّا نَسْئَلُكَ سَلاَمَةً فِى الدِّيْنِ وَعَافِيَةً فِى الْجَسَدِ وَزِيَادَةً فِى الْعِلْمِ وَبَرَكَةً فِى الرِّزْقِ وَتَوْبَةً قَبْلَ الْمَوْتِ وَرَحْمَةً عِنْدَ الْمَوْتِ وَمَغْفِرَةً بَعْدَ الْمَوْتِ. اَللهُمَّ هَوِّنْ عَلَيْنَا فِىْ سَكَرَاتِ الْمَوْتِ وَالنَّجَاةَ مِنَ النَّارِ وَالْعَفْوَ عِنْدَ الْحِسَابِ

 

Penyelesaian Pertidaksamaan Program Linear

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh 

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya membahas tentang Metode Pembuktian dalam Matematika, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 11 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

Langsung ajaaaaaaa

SOAL

Gambar daerah bersih atau daerah kotor program linear dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12 , 5x + 3y < 19 , x ≥ 0, y ≥ 0 

PENYELESAIAN

Oke, jadi itu adalah pembahasan soal memgenai Penyelesaian Pertidaksamaan Program Linear. Semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkahi tuhan yang maha esa dan dilancarkan segala urusan.

Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Program Linear

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh 

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya membahas tentang Metode Pembuktian dalam Matematika, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 11 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

Langsung ajaaaaaaa

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Persamaan Lingkaran

Trigonometri

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

• 200x + 180y ≤ 72.000
• 150x + 170y ≤ 64.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
• Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
  • Menggunakan garis selidik
  • Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
• Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
• 

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

• Langkah 1 menggambar grafiknya

• 

• Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

• Langkah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Ada seorang pedagang buah naga sedang memanen hasil kebunnya. Dia menyewa 30 kendaraan jenis truk dan colt dengan total muatan sebanyak 300 karung. Setiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukanlah bentuk model matematikanya.

Pembahasan :

Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, Kita dapat melakukan pemisalan pada truk dan colt. Kita anggap truk sebagai fungsi x dan colt sebagai fungsi y. Selain itu, banyak karung yang di tampung adalah 300 karung dengan masing-masing per truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Sehingga kita bisa menuliskan model matematikanya seperti di bawah ini.

Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300

Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60

Fungsi kuantitas = x + y = 30

Sehingga model matematika soal tersebut adalah F(kuantitas): x + y = 30 dan F(banyak karung): 3x + 2y = 60.

Contoh Soal 3

Lendra sedang berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa buah rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli paling sedikit 20 buah di mana buah rambutan maksimal sebanyak 12 buah. Harga rambutan per buah adalah 5 ribu dan pepaya adalah 2 ribu. Ia memiliki uang 40 ribu. Jika Lendra membeli a rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya

Pembahasan :

Seperti soal sebelumnya, kita melakukan pemisalan untuk pembelian dan jumlah buah di mana rambutan sebagai fungsi x dan pepaya sebagai fungsi y.

Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000

Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40

Fungsi jumlah buah: x + y ≥ 20

Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12

Ini bentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal tersebut.

Contoh Soal 4

Punto merupakan seorang pedagang memiliki modal Rp. 1.000.000 untuk membeli anggur dan ketan beras. Harga beli tiap kg anggur adalah Rp. 4000 dan ketan besar adalah Rp. 1600. Gudang Punto hanya bisa menampung 400 kg. Tentukan jumlah anggur dan ketan beras maksimum.

Pembahasan :

Seperti soal-soal sebelumnya, kita dapat melakukan pemisalan pada soal tersebut di mana anggur sebagai fungsi x dan ketan besar sebagai fungsi y. Maka, kita bisa menulis bentuk pertidaksamaannya sebagai berikut.

Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400

Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250

x ≤ 0 ; y ≤ 0

Dari persamaan tersebut, kita dapat membentuk sebuah diagram sesuai dengan nilai maksimum pada tiap persamaan. Kita bisa memasukkan nilai 0 dan 400 dalam tiap persamaan sehingga bisa diketahui titik ekstremnya.

• Titik 1 (0,400) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi anggur
• Titik 3 (400,0) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi beras ketan
• Titik 2 ( x_b, y_b ) menggunakan eliminasi kedua fungsi di atas.

5x + 2y ≤ 1250

x + y ≤ 400 |x2   –

5x + 2y ≤ 1250

2x + 2y ≤ 800    –

3x ≤ 450

Sehingga nilai x adalah 150. Total anggur dan beras ketan adalah 400, sedangkan jumlah angggur adalah 150, maka jumlah beras ketan adalah 250.

Contoh Soal 5

Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah ….

A.     Rp2.000.000,00
B.     Rp2.300.000,00
C.     Rp2.200.000,00
D.     Rp2.100.000,00
E.     Rp2.000.000,00

Pembahasan :

Pemisalan:

• x = banyak payung A
• y = banyak payung B

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

Fungsi tujuan: meminimumkan f(x,y) = 20.000x + 30.000y

Fungsi kendala:

• x ≥ 40
• y ≥ 50
• x + y ≤ 100

Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:

Nilai minimum akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50).

Sehingga, biaya produksi minimum adalah

f(40,50) = 20.000(40) + 30.000(50)
f(40,50) = 800.000 + 1.500.000
f(40,50) = 2.300.000

Jawaban: B

DAFTAR PUSTAKA

Admin. (2017, November 28). Contoh Soal dan Pembahasan Program Linear Matematika SMA. Retrieved Agustus 3, 2020, from idschool.net: https://idschool.net/sma/contoh-soal-dan-pembahasan-program-linear-matematika-sma/

Agustian. (2020, April 6). Program Linear. Retrieved Agustus 3, 2020, from rumuspintar.com: https://rumuspintar.com/program-linear/

Alwin Mulyanto, S. (n.d.). Program Linear. Retrieved Agustus 3, 2020, from www.studiobelajar.com: https://www.studiobelajar.com/program-linear/