Vieri's POV

Selasa, 01 September 2020

Pengertian Matriks, Macam-macam Matriks, Operasi Matriks dan Contoh Soal

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Shalom

Om Swastiastu

Namo Buddhaya

Rahayu

Salam Kebajikan

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

ﺇِﻥَّ ﺍﻟْﺤَﻤْﺪَ ﻟِﻠَّﻪِ ﻧَﺤْﻤَﺪُﻩُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻌِﻴْﻨُﻪُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻐْﻔِﺮُﻩْ ﻭَﻧَﻌُﻮﺫُ ﺑِﺎﻟﻠﻪِ ﻣِﻦْ ﺷُﺮُﻭْﺭِ ﺃَﻧْﻔُﺴِﻨَﺎ ﻭَﻣِﻦْ ﺳَﻴِّﺌَﺎﺕِ ﺃَﻋْﻤَﺎﻟِﻨَﺎ، ﻣَﻦْ ﻳَﻬْﺪِﻩِ ﺍﻟﻠﻪُ ﻓَﻼَ ﻣُﻀِﻞَّ ﻟَﻪُ ﻭَﻣَﻦْ ﻳُﻀْﻠِﻞْ ﻓَﻼَ ﻫَﺎﺩِﻱَ ﻟَﻪُ. ﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻻَ ﺇِﻟَﻪَ ﺇِﻻَّ ﺍﻟﻠﻪ ﻭَﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻣُﺤَﻤَّﺪًﺍ ﻋَﺒْﺪُﻩُ ﻭَﺭَﺳُﻮْﻟُﻪُ.

Sebelum saya membahas "Soal Cerita untuk menentukan Nilai Optimum", Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (27) murid kelas XI IPS 2 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Follow instagram @paisalts_.

LANGSUNG AJAA YOKKK.....................

PENGERTIAN MATRIKS

Matriks merupakan susunan sekelompok bilangan didalam suatu jajaran yang berbentuk persegi panjang dan diatur berdasarkan baris dan kolom yang kemudian diletakkan antara 2 tanda kurung. Tanda kurung yang dipakai untuk mengapit susunan anggota matriks tersebut bisa berupa tanda kurung biasa atau kurung siku. Bilangan pada matriks disebut elemen atau unsur matriks. Berdasarkan susunannya, kumpulan elemen matriks dibedakan menjadi dua macam, yaitu :

Baris : kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara horizontal
Kolom : kumpulan elemen atau unsur yang tersusun secara vertikal

Matriks yang memiliki m baris dan n kolom disebut dengan matriks m x n dan disebut sebagai matriks yang memiliki orde m x n. Selain itu, penulisan matriks menggunakan huruf kapital dan tebal.

Dalam matematika, matriks merupakan susunan bilangan, simbol, atau disebut dengan ekspresi, yang disusun dalam baris & kolom sehingga membentuk bangun persegi. Sebagai contoh, dimensi matriks di bawah ini ialah 2 × 3, karena terdiri dari dua baris dan tiga kolom.

MACAM-MACAM MATRIKS

Matriks dapat dikelompokan ke beberapa jenis berdasarkan pada jumalah baris dan kolom serta pola elemen matriksnya sebagai berikut :

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

Matriks baris adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu baris saja. Sedangkan, matriks kolom adalah suatu matriks yang hanya memiliki satu kolom saja. Contoh:

A = (1 4) atau B = (3 7 9) adalah matriks baris

$\begin{pmatrix} 146 \\ 275 \\ 528 \end{pmatrix}$ atau $D = \begin{pmatrix} p \\ q \end{pmatrix}$ adalah matriks kolom

2. Matriks Persegi

Matriks yang memiliki jumlah kolom dan baris yang sama disebut matriks persegi. Matriks persegi memiliki ordo n.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 34 & 56 & 41 \\ 45 & 36 & 37 \\ 51 & 32 & 46 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 3, atau

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks persegi berordo 2.

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

Matriks persegi A yang memiliki elemen matriks $a_{ij} = 0$ untuk $i > j$ atau elemen-elemen matriks dibawah diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga atas. Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i < j$ atau elemen-elemen matriks diatas diagonal utama bernilai 0 disebut matriks segitiga bawah.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 7 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga atas,

$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 7 & 3 & 0 \\ 4 & 6 & 4 \end{pmatrix}$ adalah matriks segitiga bawah.

4. Matriks Diagonal

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks $a_{ij} = 0$ untuk $i \neq j$ atau elemen-elemen matriks diluar diagonal utama bernilai 0 disebut matriks diagonal.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

5. Matriks Skalar

Matriks diagonal yang memiliki elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai sama disebut matriks skalar.

Contoh:

$A = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$ atau $B = \begin{pmatrix} 4 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

6. Matriks Indentitas

Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang mana seluruh elemen pada diagonal utamanya adalah 1. Matriks identitas pada umunya dinotasikan dengan I. Contoh matriks indentitas seperti berikut :

7. Matriks Simetris

Matriks persegi A yang memiliki elemen matiks baris ke-I sama dengan elemen matriks kolom ke-j untuk i = j disebut simetris. Atau, dapat dikatakan elemen $a_{ij}$ sama dengan elemen $a_{ji}$ .

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 3 & 5 \\ 4 & 5 & 7 \end{pmatrix}$

Dapat dilihat bahwa elemen baris ke-1 sama dengan kolom ke-1, baris ke-2 sama dengan kolom ke-2, dan baris ke-3 sama dengan kolom ke-3.

8. Transpose Matriks

Transpose matriks merupakan perubahan baris menjadi kolom dan sebaliknya. Transpose matriks dari $A_{m x n}$ adalah sebuah matriks dengan ukuran (n x m) dan bernotasi A^T. Jika matriks A ditanspose, maka baris 1 menjadi kolom 1, baris 2 menjadi kolom 2, dan begitu seterusnya.

Contoh:

$\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$ ditranspose menjadi $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}$ .

Sifat dari transpose matriks: $(A^T)^T = A$ .

Operasi Matriks

Operasi dasar seperti penjumlahan dan perkalian erat sekali berhubungan dengan matriks. Namun, operasi tersebut tidak selalu dapat langsung diterapkan, karena matriks lebih rumit daripada angka.

A. Penjumlahan Matrik

Bagaimana cara menjumlahkan dua atau lebih matriks? Untuk memahami penjumlahan matriks, maka perhatikan tabel di bawah ini.

Tabel di atas menunjukkan daftar pendapatan dari tiket masuk kebun binatang pada bulan pertama dan bulan kedua yang terbagi dalam 2 kelompok, yaitu dewasa dan anak-anak, pada hari biasa dan hari libur. Jika data di atas disajikan dalam bentuk matriks, maka diperoleh:

Jadi kalian dapat menyelesaikan persoalan ini jauh lebih mudah dibandingkan cara biasa. Untuk lebih jelasnya lihat animasi berikut:

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Penjumlahan Matriks

Dari animasi di atas dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

Penjumlahan matriks hanya dapat dilakukan jika kedua matriks mempunyai ordo yang sama
Penjumlahan dua matriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang bersesuaian. Elemen baris-1 kolom-1 matriks pertama dijumlahkan dengan elemen baris-1 kolom-1 matriks ke-2 dan menjadi elemen baris-1 kolom-1 matriks hasil operasi dan seterusnya.

Secara umum operasi penjumlahan dua matriks adalah :

atau secara umum penjumlahan matriks dapat dinyatakan dengan

Untuk lebih jelasnya coba kalian perhatikan contoh berikut ini!

Dari contoh di atas, dapat disimpulkan bahwa sifat-sifat penjumlahan matriks adalah:

Perhatikanlah contoh berikut ini!

Dari contoh di atas elemen-elemen matriks hasil penjumlahan semuanya bernilai nol. Matriks yang semua elemennya bernilai nol disebut matriks nol, sedangkan kedua matriks yang dijumlahkan disebut matriks yang saling berlawanan. Matriks nol umumnya dinotasikan dengan O.

Jika matriks A + B = O maka B berlawanan dengan A, sehingga B = -A dan A = -B

Jika matriks B adalah lawan dari matriks A maka semua elemen matriks B yang seletak berlawanan dengan elemen matriks A.

B. Pengurangan Matriks

Operasi lainnya dalam operasi matriks yaitu pengurangan matriks. Bagaimana cara melakukan pengurangan matriks? Untuk operasi pengurangan dilakukan dengan cara yang sama, bedanya operasi yang digunakan adalah pengurangan. Coba kalian perhatikan animasi berikut ini!

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Pengurangan Matriks

Bagaimana pendapat kalian berdasarkan animasi pengurangan matriks tersebut? Secara umum operasi pengurangan dua matriks adalah:

atau secara umum pengurangan matriks dapat dinyatakan dengan

Operasi pengurangan juga dapat dilakukan dengan menjumlahkan matriks pertama dengan lawan matriks kedua.

A - B = A + (-B)

-B disebut invers jumlah atau lawan matriks B. Matriks O, matriks yang semua elemen bernilai 0 adalah matriks Identitas operasi penjumlahan.

Sehingga berlaku persamaan

Selanjutnya perhatikanlah contoh berikut ini!

Berdasarkan contoh-contoh yang diberikan di atas, apakah sudah jelas cara melakukan operasi pengurangan matriks? Kalian dapat mencari contoh-contoh pengurangan matriks lainnya sebagai bahan latihan!

C. Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Apa yang dimaksud dengan perkalian matriks dengan bilangan skalar? Sebelum penjelasan lebih lanjut, untuk memahami kegunaan operasi perkalian matriks dengan bilangan skalar, perhatikan tabel berikut:

Gaji Karyawan Perusahaan Bulan Januari

Jumlah Gaji Karyawan Bulan Januari, Februari, dan Maret

dengan Tidak Ada Perubahan dalam 3 Bulan

sehingga dalam bentuk matriks, menjadi:

Sehingga secara umum perkalian sebuah matriks dengan bilangan skalar adalah mengalikan semua elemen matriks dengan bilangan skalar yang dimaksud

dengan k bilangan skalar atau bilangan konstan

atau dalam bentuk terperinci

Untuk jelasnya perhatikan animasi berikut!

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar

Selanjutnya kalian perhatikan contoh berikut ini!

Contoh:

Dari contoh di atas dapat ditunjukkan bahwa pada perkalian bilangan skalar dengan matriks bersifat distributif perkalian terhadap penjumlahan dan pengurangan, secara umum dapat dinyatakan dengan

Sifat-Sifat Operasi Matriks

Catatan : Pada pembahasan sifat-sifat operasi kali ini dapat dilakukan dengan menganggap bahwa ukuran-ukuran matriks yang dioperasikan disesuaikan dengan ketentuan dari setiap operasi.

1. Terhadap Operasi Penjumlahan

Misalkan terdapat matriks $A, B, C$ dan matriks nol $O$ sedemikian rupa sehingga berlaku :

$A+B=B+A$
$A+(B+C)=(A+B)+C$
$A+O =O+A=A$
$A+(-A)=-A+A=O$

2. Terhadap Operasi Perkalian

Misalkan terdapat matriks $A, B, C,$ matriks nol $O,$ matriks identitas $I$ dan $m,n$ sembarang bilangan bulat yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

$AB\neq BA$
$(AB)C=A(BC)$
$AI=IA=A$
$AO=OA=O$
$A^m A^n=A^{m+n}~\text{dan}~(A^m)^n=A^{mn}$
$A^x=\begin{cases}I & \text{ jika } x= 0\\\underbrace{AA\dots A}_{x~faktor}& \text{ jika } x\in \mathbb{N}\end{cases}$

$A A \dots A jika x = 0 jika x \in N$
$\text{jika matriks diagonal}~A_{n \times n}=\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&0&\dots&0\\0&a_{22}&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&a_{nn}\end{array}}\right],~\text{maka}~A^k=\left[{\begin{array}{cccc}(a_{11})^k&0&\dots&0\\0&(a_{22})^k&\dots&0\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\0&0&\dots&(a_{nn})^k\end{array}}\right]$
$\text{jika}~AB=O~\text{maka tidak selalu}~A=O~\text{atau}~B=O~\text{atau}~BA=O$

3. Terhadap Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar

Misalkan terdapat matriks $A, B, C,$ dan $m,n$ sembarang skalar (riil atau kompleks) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

$A(B+C)=AB+AC$
$(B+C)A=BA+CA$
$m(A+B)=mA+mB$
$(m+n)A=mA+nA$
$(mn)A=m(nA)$
$m(BC)=(mB)C=B(mC)$

4. Terhadap Operasi Transpose

Misalkan terdapat matriks $A, B,$ dan $\alpha$ sembarang skalar (riil atau kompleks) yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

$(A+B)^T=A^T+B^T$
$(\alpha A)^T=\alpha A^T$
$(A^T)^T=A$
$(AB)^T=B^T A^T$

5. Terhadap Operasi Trace

Misalkan terdapat matriks $A, B, I\text{(Identitas)}$ dan $\alpha$ sembarang skalar (riil atau kompleks) dan sembarang bilangan bulat $n$ yang sedemikian rupa sehingga berlaku :

$tr(\alpha A)=\alpha (tr(A))$
$tr(A+B) = tr(A)+tr(B)$
$tr(AB)=tr(BA)$
$tr(A^T)=tr(A)$
$tr(I_{n \times n})= n$

CONTOH SOAL MATRIKS

Senin, 24 Agustus 2020

SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Shalom

Om Swastiastu

Namo Buddhaya

Rahayu

Salam Kebajikan

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

LANGSUNG AJAA YOKKK.....................

SOAL

Dengan persediaan kain polos 20 m dan kain bergaris 10 m. Dewi akan membuat 2 model pakaian jadi. Model I memerlukan tidak lebih dari 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model II memerlukan tidak lebih dari 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, setiap model I memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model II memperoleh untung tidak kurang dari Rp. 10.000,00. Laba yang diperoleh Dewi adalah sebanyak …

DIKETAHUI :

Model 1 = Kain polos 1 meter dan kain bergaris 1,5 meter

Model 2 = Kain polos 2 meter dan kain bergaris 0,5 meter

Persediaan = Kain polos 20 meter dan kain bergaris 10 meter

Laba = Model 1 tidak kurang dari Rp. 15.000,00 dan model 2 tidak kurang dari Rp. 10.000,00

DITANYA :

Berapa laba yang diperoleh ...

JAWABAN :

Model 1 : x

Model 2 : y

Diperjelas dengan tabel sebagai berikut.

	Kain polos	Kain bergaris
Model 1 (x)	1x	1,5x
Model 2 (y)	2y	0,5y
Persediaan	20	10

Persamaan :

1x + 2y = 20 (Kain Polos)

1,5x + 0.5y = 10 (Kain Bergaris)

Untuk mengetahui hasilnya lebih lanjut, Substitusi dan Eliminasi kedua pertidaksamaan tersebut, sebagai berikut;

Dapat disimpulkan bahwa X = 4 dan Y = 8

Untuk mengetahui berapa Laba yang didapatkan bisa diketahui dengan cara sebagai berikut;

Laba Total : laba model 1(x) + laba model 2(y)

Laba = 15.000x + 10.000y

Karena nilai x dan y sudah ditemukan dengan cara substitusi dan elimanasi pertidaksamaan kain polos dan kain bergaris. Selanjutnya tinggal memasukkan nilai x dan y ke dalam Laba = 15.000x + 10.000y, sebagai berikut;

Jadi, Laba yang Dewi dapatkan adalah Rp.140.000,00

Oke, jadi itu adalah pembahasan Soal Cerita untuk menentukan Nilai Optimum. Semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkahi tuhan yang maha esa dan dilancarkan segala urusan.

Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

اللَّهُمَّ أَنْتَ السَّلاَمُ وَمِنْكَ السَّلاَمُ تَبَارَكْتَ ذَا الْجَلاَلِ وَالإِكْرَامِ

اَللهُمَّ اِنَّا نَسْئَلُكَ سَلاَمَةً فِى الدِّيْنِ وَعَافِيَةً فِى الْجَسَدِ وَزِيَادَةً فِى الْعِلْمِ وَبَرَكَةً فِى الرِّزْقِ وَتَوْبَةً قَبْلَ الْمَوْتِ وَرَحْمَةً عِنْدَ الْمَوْتِ وَمَغْفِرَةً بَعْدَ الْمَوْتِ. اَللهُمَّ هَوِّنْ عَلَيْنَا فِىْ سَكَرَاتِ الْمَوْتِ وَالنَّجَاةَ مِنَ النَّارِ وَالْعَفْوَ عِنْدَ الْحِسَابِ

Selasa, 11 Agustus 2020

Penyelesaian Pertidaksamaan Program Linear

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Shalom

Om Swastiastu

Namo Buddhaya

Rahayu

Salam Kebajikan

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya membahas tentang Metode Pembuktian dalam Matematika, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 11 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

Langsung ajaaaaaaa

SOAL

Gambar daerah bersih atau daerah kotor program linear dari pertidaksamaan 3x + 2y ≤ 12 , 5x + 3y < 19 , x ≥ 0, y ≥ 0

PENYELESAIAN

Oke, jadi itu adalah pembahasan soal memgenai Penyelesaian Pertidaksamaan Program Linear. Semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkahi tuhan yang maha esa dan dilancarkan segala urusan.

Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Vieri's POV

Selasa, 01 September 2020

Pengertian Matriks, Macam-macam Matriks, Operasi Matriks dan Contoh Soal

1. Matriks Baris dan Matriks Kolom

2. Matriks Persegi

3. Matriks Segitiga Atas dan Segitiga Bawah

4. Matriks Diagonal

5. Matriks Skalar

6. Matriks Indentitas

7. Matriks Simetris

8. Transpose Matriks

Operasi Matriks

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Content on this page requires a newer version of Adobe Flash Player.

Sifat-Sifat Operasi Matriks

1. Terhadap Operasi Penjumlahan

2. Terhadap Operasi Perkalian

3. Terhadap Penjumlahan dan Perkalian dengan Skalar

4. Terhadap Operasi Transpose

5. Terhadap Operasi Trace

Senin, 24 Agustus 2020

SOAL CERITA UNTUK MENENTUKAN NILAI OPTIMUM

Selasa, 11 Agustus 2020

Penyelesaian Pertidaksamaan Program Linear

Jakarta dan Hidup Layak

Cari Blog Ini