Vieri's POV

PAISAL VIERI EKA TAMA SIMBOLON (28) XI IPS 2

Shalom

Om Swastiastu

Namo Buddhaya

Rahayu

Salam Kebajikan

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

ﺇِﻥَّ ﺍﻟْﺤَﻤْﺪَ ﻟِﻠَّﻪِ ﻧَﺤْﻤَﺪُﻩُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻌِﻴْﻨُﻪُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻐْﻔِﺮُﻩْ ﻭَﻧَﻌُﻮﺫُ ﺑِﺎﻟﻠﻪِ ﻣِﻦْ ﺷُﺮُﻭْﺭِ ﺃَﻧْﻔُﺴِﻨَﺎ ﻭَﻣِﻦْ ﺳَﻴِّﺌَﺎﺕِ ﺃَﻋْﻤَﺎﻟِﻨَﺎ، ﻣَﻦْ ﻳَﻬْﺪِﻩِ ﺍﻟﻠﻪُ ﻓَﻼَ ﻣُﻀِﻞَّ ﻟَﻪُ ﻭَﻣَﻦْ ﻳُﻀْﻠِﻞْ ﻓَﻼَ ﻫَﺎﺩِﻱَ ﻟَﻪُ. ﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻻَ ﺇِﻟَﻪَ ﺇِﻻَّ ﺍﻟﻠﻪ ﻭَﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻣُﺤَﻤَّﺪًﺍ ﻋَﺒْﺪُﻩُ ﻭَﺭَﺳُﻮْﻟُﻪُ.

Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) murid kelas XI IPS 2 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta.

LANGSUNG YAKK...................

Barisan Geometri

Baris geometri adalah baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui perkalian dengan suatu bilangan r. Perbandinganatau rasio antara nilai suku dengan nilai suku sebelumnya yang berdekatan selalu sama yaitu r. Sehingga:

$\frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = r$

Sebagai contoh baris 1, 2, 4, 8, 16, merupakan baris geometri dengan nilai

$r = \frac{16}{8} = \frac{8}{4} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2$

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan geometri dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan rasio antar suku yang berdekatan (r). Rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k \cdot r^{(n - k)}$

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama $U_k = a$ dan rasio antar sukunya (r), maka nilai k = 1 dan nilai $U_n$ adalah:

$U_n = a \cdot r^{(n - 1)}$

Deret Geometri

Deret geometri adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan geometri. Penjumlahan dari suku suku petama sampai suku ke-n barisan geometri dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n - 1)} + U_n$

Atau sebagai:

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + \cdots + ar^{(n - 2)} + ar^{(n - 1)}$

Jika hanya diketahui nilai a adalah suku pertama dan nilai U_n adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = a\frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$

dengan syarat 0 < r < 1.

Atau:

$S_n = a \frac{(r^n - 1)}{(r - 1)}$

dengan syarat r> 1.

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n. Cara memperolehnya sama dengan deret aritmatika yaitu:

$U_n = S_n - S_{(n - 1)}$

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris geometri dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris geometri dan memiliki rasio antar suku beredekatan (r). Baris tersebut memiliki banyak suku q + 2 dan diurutkan menjadi:

a, ar, ar², ar³, …,ar^q, ar^(q+1)

Dimana suku terakhir tersebut:

ar^(q+1) = p

Sehingganilai r dapat ditentukan sebagai:

$r = \sqrt[q + 1]{\frac{p}{a}}$

Deret Geometri Tak hingga

Suatu deret geometri dapat menjumlakan suku-sukunya sampai menuju tak hingga. Apabila deret geometri menuju tak hingga dimana $n \rightarrow \infty$ , maka deret ini dapat dijumlah menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + U_4 + \cdots$

Atau sebagai :

$S_n = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + \cdots$

Deret geometri tak hingga terdiri dari 2 jenis yaitu konvergen dan divergen. Deret geometri tak hingga bersifat konvergen jika penjumlahan dari suku-sukunya menuju atau mendekati suatu bilangaan tertentu. Sedangkan bersifat divergen jika penjumlahan dari suku-sukunya tidak terbatas. Nilai deret geometri tak hingga dapat diperoleh dengan mengunakan limit. Sebelumnya diketahui bahwa nilai deret geometri adalah:

$S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)}$

Dimana terdapat unsur $r^n$ didalam perhitungannya yang terpengaruh jumlah suku n. Jika $n \rightarrow \infty$ , maka untuk menentukan nilai $r^n$ dapat menggunakan limit yaitu:

$lim_{n \rightarrow \infty} r^n$

dengan syarat -1 < r < 1.

Dan:

$lim_{n \rightarrow \infty} r^n = tak terbatas$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Kemudian hasil limit $r^n$ tersebut dapat dimasukan kedalam perhitungan deret sebagai:

$S = a \frac{(1 - lim_{n \rightarrow \infty} r^n)}{(1 -r)} = a \frac{1 - 0}{1 - r} = \infty$

dengan syarat -1 < r < 1

Dan:

$S = a \frac{(1 - lim_{n \rightarrow \infty} r^n}{(1 - r)} = a \frac{(1 - \infty)}{(1 - r)} = \infty$

dengan syarat r < -1 atau r > 1.

Contoh Soal 1 :

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 42, 24, 12,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 42

r = 1/2

Jawab :

Un = ar^n-1
Un = 42.(1/2)^n-1
Un = 42.(1/2)^n-1
Un = 42.(2^-1)^1-n
Un = 3.4. (2)^1-n
U7 = 3.2²(2)^1-n
U7 = 3.2^3-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 3.2^3-n

Contoh Soal 2 :

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 58, 24, 12,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 48

r = 1/2

Jawab :

Un = ar^n-1
Un = 58.(1/2)^n-1
Un = 58.(1/2)^n-1
Un = 58.(2^-1)^1-n
Un = 4.16. (2)^1-n
U7 = 4.2⁴(2)^1-n
U7 = 4.2^5-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 4.2^5-n

Contoh Soal 3 :

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 44, 24, 12,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 44

r = 1/2

Jawab :

Un = ar^n-1
Un = 44.(1/2)^n-1
Un = 44.(1/2)^n-1
Un = 44.(2^-1)^1-n
Un = 3.8. (2)^1-n
U7 = 3.2³(2)^1-n
U7 = 3.2^4-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 3.2^4-n

Contoh Soal 4 :

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 48, 24, 12,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 48

r = 1/2

Jawab :

Un = ar^n-1
Un = 48.(1/2)^n-1
Un = 48.(1/2)^n-1
Un = 48.(2^-1)^1-n
Un = 3.16. (2)^1-n
U7 = 3.2⁴(2)^1-n
U7 = 3.2^5-n

Jadi, suku Un yang ke 7 tersebut adalah = 3.2^5-n

Contoh Soal 5 :

Ada Sebuah amoeba membelah diri menjadi 2 setiap 6 menit,berapakah jumlah amoeba setelah satu jam jika awalnya terdapat hanya 2 amoeba .cari dan hitunglah suku Un jumlah amoeba tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 2
r = 2
n = (1 jam/6 menit) + 1 = 11

Jawab :

Un = arn – 1
Un = 2 . 2 11 – 1 = 210 = 1024 buah amoeba

Jadi, suku Un untuk mencari amoeba tersebut adalah = 1024 buah amoeba

3. Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 3, 6, 2,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 3

r = 2

Jawab :

Un = ar^(n-1)
Un = 3.2^(7-1)
U7 = 3.2^(7-1)
U7 = 192

Jadi, suku Un yang ke 17 tersebut adalah = 192

Contoh Soal 6 :

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 7 dari barisan 3, 6, 2,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

a = 3

r = 2

Jawab :

Un = ar^(n-1)
Un = 3.2^(7-1)
U7 = 3.2^(7-1)
U7 = 192

Jadi, suku Un yang ke 17 tersebut adalah = 192

Contoh Soal 7 :

Ada Sebuah barisan geometri yang untuk mencari suku Un.cari dan hitunglah suku Un yang ke 10 dari barisan 1/8, 1/4, 1/2,…. tersebut !

Penyelesaian :

Diketahui :

= r = 1/4 : 1/8 = 1/4 x 8 = 2 (rasionya)

a = 1/8

Jawab :

Un = arn – 1
Un = 1/8 . 2 (10 – 1) = 1/8 . 29 = 2 – 3 . 29 = 26 = 64

Jadi, suku Un yang ke 10 tersebut adalah = 64

Contoh Soal 8 :

Suku pertama suatu deret geometri adalah 2 dan rasionya adalah 3. Jika suku tengah deret tersebut = 54, tentukanlah :

a. suku terakhir dari deret tersebut.

b. banyak suku pada deret tersebut.

Penyelesaian :

a. U1 = 2

Ut = 54

r = 3

Ut = √(U1×Un)

54 = √(2×Un)

54² = 2×Un

2.916 = 2Un

Un = 2.916/2

Un = 1.458

Jadi, suku terakhir (Un) dari deret tersebut yaitu 1.458.

b. Un = U1 × r^n-1

1.458 = 2 × (3)^n-1

(3)^n-1 = 1.458/2

(3)^n-1 = 729

(3)^n-1 = 3⁶

n-1 = 6

n = 7

Maka banyak suku pada deret tersebut adalah 7.

Contoh Soal 9 :

Dalam suatu deret geometri diketahui U3 = 81 dan U6 = 3. Tentukanlah deret tersebut !

Penyelesaian :

U3 = 81, maka U1 × r² = 81

U6 = 3, maka U1 × r⁵ = 3

U6/U3 = ( U1 × r⁵ )/( U1 × r² ) = 3/81

r³ = 1/27

r = akar pangkat 3 dari (1/27)

r = 1/3

U1 × r² = 81

U1 × (1/3)² = 81

U1 × 1/9 = 81

U1 = 81 : 1/9

U1 = 81 × 9

U1 = 729

Jadi deret tersebut adalah 729+243+81+27+…

Contoh Soal 10 :

Tentukan banyak suku dari deret -3+6+(-12)…+96!

Penyelesaian :

U1 = -3

Un = 96

r = 6/-3 = -2

Un = U1 × r^n-1

96 = -3 × (-2)^n-1

(-2)^n-1 = 96 : (-3)

(-2)^n-1 = -32

(-2)^n-1 = (-2)⁵

n-1 = 5

n = 6

Jadi, banyak suku pada deret tersebut = 6.

Contoh Soal 11 :

Dalam suatu deret geometri diketahui U1 = 6 dan U5 = 486. Tentukan besar rasionya ?

Penyelesaian :

U1 = 6

U5 = 486

n = 5

Un = U1 × r^n-1

U5 = 6 × r^5-1

486 = 6 × r⁴

r⁴ = 486/6

= 81

r = ±

r = 3 atau -3

Sehingga rasio deret tersebut yaitu 3 atau -3.

Contoh Soal 12 :

Tentukan suku ke-7 dari deret 5+10+20+40+… !

Penyelesaian :

U1 = 5

n = 7

r = 2

Suku ke-n = U1 × r^n-1

Suku ke-7 = 5 × 2^7-1

= 5 × 2⁶

= 5 × 64

= 320

Contoh Soal 13 :

Tunjukkan bahwa 2+(-6)+18+(-54)+162+ … merupakan deret geometri atau deret ukur !

Penyelesaian :

Syarat deret geometri yaitu memiliki rasio yang tetap.

r = U2/U1 = -6/3 = -3

r = U3/U2 = 18/-6 = -3

r = U4/U3 = -54/18 = -3

r = U5/U4 = 162/-54 = -3

Karena rasionya selalu tetap yaitu -3, maka 2+(-6)+18+(-54)+162+ … merupakan deret geometri atau deret ukur.

Contoh Soal 14 :

Pada sebuah deret geometri diketahui bahwa suku pertamanya adalah 3 dan suku ke-9 adalah 768. tentukan suku ke 7 deret tersebut.

Jawaban :

a = 3 dan U9 = 768
U9 = ar^n-1768 = 3.r^9-1768 = 3.r⁸r⁸ =768/3
r⁸ = 256
r = 2

maka U7 = 3.2^6.U7 = 194.

Contoh Soal 15 :

Jika jumlah 2 suku pertama deret geometri adalah 6 dan jumlah 4 suku pertama adalah 54. Memiliki rasio positif. Maka tentukan jumlah 6 suku pertama deret tersebut!

Pembahasan:

Diketahui bahwa:

$S_2 = 6$

$6 = a \frac{(1 - r^2)}{(1 -r)} = a \frac{(1 -r)(1 + r)}{(1 -r)} = a(1 + r)$

dan

$S_4 = 54$

$54 = a \frac{(1 - r^4)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r^2)(1 + r^2)}{(1 - r)} = a \frac{(1 - r)(1 + r)(1 + r^2)}{(1 - r)}$

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

Jika kedua persamaan disubstitusikan :

$54 = a(1 + r)(1 + r^2)$

$54 = 6(1 + r^2)$

$9 = (1 + r^2)$

$r = \pm \sqrt{8} = \pm2\sqrt{2}$

Dan

$6 = a(1 + r) = a(1 + 2\sqrt{2})$

$a = \frac{6}{(1 + 2\sqrt{2})}$

Sehingga :

$S_n = a \frac{(1 - r^n)}{(1 - r)} = (\frac{6}{1 + 2\sqrt{2}}) \frac{(1 - (2\sqrt{2})^6)}{(1 - 2\sqrt{2})}$

$S_n = \frac{6(1 - 8^3)}{1 - 8} = \frac{3066}{7}$

Contoh Soal 16 :

Suatu jenis bakteri, setiap detik akan membelah diri menjadi dua. Jika pada saat permulaan ada 5 bakteri, berapa waktu yang diperlukan bakteri supaya menjadi 320 bakteri ?`

Jawaban :

Soal tersebut merupakan deret geometri dengan a = 5, r = 2, dan Un = 320

U_n = ar^n-1320 =5. (2^n-1)
(2^n-1) = 320/5
(2^n-1) = 64
(2^n-1) = 2 ⁶n = 7

Maka waktu yang dibutuhkan bakteri untuk berkembang menjadi 320 adalah 7 menit.

Contoh Soal 17 :

Tentukan jumlah deret geometri berikut. ini, 4 + 2 + 1 + 1/2 + 1/4 …………..

Jawaban :

Diketahui a = 4 dan r = 1/2

Sn = a / (1 - r)
Sn = 4 / (1 - 1/2)
Sn = 4 / (1/2)
Sn = 4 . 2
Sn = 8

Jadi jumlah deret geometri tersebut adalah 8

Contoh Soal 18 :

Carilah jumlah tujuh suku pertama pada deret geometri 4 + 12 + 36 + 108 +…

Jawaban :

Diketahui a = 4 dan r = 3

S7 = 4(rⁿ - 1) / (r - 1)
S7 = 4(3⁷ - 1) / (3 - 1)
S7 = 4372

Jadi jumlah 7 suku pertama dalam deret tersebut adalah 4372.

Contoh Soal 19 :

Carilah jumlah dari deret geometri 2 + 6 + 18 + … + 4374

Jawaban :

a = 2 dan r = 3
U_n = ar^n-14374 = 2.(3^n-1)
3^n-1 =4374 / 2
3^n-1 = 2187
3^n-1 = 3⁷n-1 = 7
n = 8

maka S8 = a(rⁿ – 1) / (r – 1)

S8 = 2(3⁸ - 1) / (3 - 1)
S8 = 2 (6560)/ 2

Jadi S8 = 6560

Contoh Soal 20 :

Jika $\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1$ maka jumlah deret geometri tak hingga $\frac{1}{p} + \frac{1}{pq} + \frac{1}{pq^2} + \frac{1}{pq^3} + \cdots$ adalah?

(SPMB 2005)

Pembahasan 3:

Diketahui bahwa:

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{p + q}{pq}$ atau $p + q = pq$

Ditentukan ratio deretnya adalah:

$r = \frac{U_n}{U_{(n - 1)}} = \frac{\frac{1}{pq}}{\frac{1}{p}} = \frac{1}{pq} \times \frac{p}{1} = \frac{1}{q}$

Maka jumlah deretnya dengan mensubstitusi $p + q = pq$ adalah:

$S = \frac{a}{(1 - r)} = \frac{\frac{1}{p}}{(1 - \frac{1}{q})} = \frac{\frac{1}{p}}{(\frac{q - 1}{q})} = \frac{1}{p} \times \frac{q}{q - 1} = \frac{q}{p(q - 1)}$

$S = \frac{q}{pq -p} = \frac{q}{(p + q) - p} = 1$

Terima kasih kepada Ibu DR Lizza Novrida, semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkahi tuhan yang maha esa.

Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Daftar Pustaka

Admin. (2017, November 29). Soal Deret Geometri dan Pembahasannya. Retrieved November 9, 2020, from rumus-matematika.com: http://rumus-matematika.com/soal-deret-geometri-dan-pembahasannya/

Admin. (n.d.). Barisan dan Deret – Aritmatika, Geometri, Tak Hingga. Retrieved November 9, 2020, from www.studiobelajar.com: https://www.studiobelajar.com/barisan-deret-aritmatika-geometri/

Rahmah, A. (2020, Mei 6). Rumus Barisan Deret Geometri Dan Contoh Soalnya. Retrieved November 9, 2020, from rumus.co.id: https://rumus.co.id/geometri/

Sutiono M.Kom., M. (n.d.). 5 Contoh Soal Deret Geometri Dan Jawabannya. Retrieved November 9, 2020, from haloedukasi.com: https://haloedukasi.com/contoh-soal-deret-geometri

Vieri's POV

Senin, 09 November 2020

BARISAN DAN DERET GEOMETRI DAN BEBERAPA CONTOH SOALNYA

Barisan Geometri

Deret Geometri

Sisipan

Deret Geometri Tak hingga

Daftar Pustaka

Jakarta dan Hidup Layak

Cari Blog Ini