Metode Pembuktian dalam Matematika

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh 

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya membahas tentang Metode Pembuktian dalam Matematika, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 11 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

Ada 3 Poin yang akan kita bahas hari ini, antara lain:

1. Pembuktian Langsung
2. Pembuktian Tidak Langsung
3. Induksi
   

Langsung ajaaaa

Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C” hehe. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Contohnya adalah

• Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap
• Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k. Contoh "6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga 6 = 2(3)" "-4 adalah genap, sebab terdapat (-2) sehingga -4 = 2(3)"
• Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k + 1. Contoh 3 adalah ganjil, sebab terdapat 1 sehingga 3 = 2(1) + 1" "-3 adalah ganjil, sebab terdapat (-2) sehingga -3 = 2(-2) + 1"

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n 2 adalah ganjil.

Jawab :

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1.

Akan ditunjukkan bahwa n 2 ganjil.

n 2 = (2k + 1)2

= 4k 2 + 4k + 1

= 2(2k 2 + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n 2 = 2(2k 2 + 2k) +1.

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k 2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n^2 adalah ganjil.

Contoh Soal 2

Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka buktikan bahwa mn adalah juga kuadrat sempurna.

Jawab :

Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya

m   = k 2 , n = p 2 , untuk suatu k, p suatu bilangan bulat.

mn = (k2 )(p2 )

      = (kp)2

Karena k, p

Pembuktian Tidak Langsung 

Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

(1) Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi. Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

*Mudahnya, Kontraposisi adalah Pembalikan susunan dari invers itu sendiri. Misalnya : Pernyataan ~q=>~p, maka ini disebut Kontraposisi dari p=>q.

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya

Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n²  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.

(2) Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh Soal :

Contoh Soal 1 :

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangkan dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.

Jawab :

Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama”

Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari.

Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu.

Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari.

Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p  (r  -r).

Artinya p bernilai benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1  kedalam pernyataan P(k).

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Buktikan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi :
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
                                                = (k + 1)(k + 2)
                                                = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh Soal 2

Buktikan 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n² benar, untuk setiap n bilangan asli

Jawab :
P(n) :  1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²
Akan ditunjukkan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
1 = 1²
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k²,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Dari asumsi :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k²
Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
                                                                  = k² + 2k + 1
                                                                  = (k + 1)²
Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh Soal 3
Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
6^k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
6^k+1 + 4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
              = 5(6^k) + 6^k + 4

Karena 5(6^k) habis dibagi 5 dan 6^k + 4 habis dibagi 5, akibatnya 5(6^k) + 6^k + 4 juga habis dibagi 5.
Jadi, P(k + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.


Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, "10 habis dibagi 5" benar karena terdapat bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan "10 habis dibagi 5" dapat kita tulis menjadi "10 = 5m, untuk m bilangan bulat"

Contoh Soal 4

Buktikan n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli

Jawab :
P(n) :  n³ + 2n = 3m, dengan m ∈ $Z$
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ $N$

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
1³ + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
k³ + 2k = 3m,    k ∈ $N$

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ $Z$

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)

Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k² + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k² + k + 1), maka
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ $Z$
Jadi, P(k + 1) benar

DAFTAR PUSTAKA

Alwin Mulyanto, S. (2020). Induksi Matematika. Retrieved Juli 27, 2020, from www.studiobelajar.com: https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/

Maker, Z. (2017, Juli 15). Induksi Matematika. Retrieved Juli 27, 2020, from smatika.blogspot.com: https://smatika.blogspot.com/2017/07/induksi-matematika.html

Melkianusbenusu. (2016, Oktober 10). Apa Itu Kontraposisi. Retrieved Juli 27, 2020, from melkianusbenusu.wordpress.com: https://melkianusbenusu.wordpress.com/2016/10/10/apa-itu-kontraposisi/

Pratama, R. P. (2019, Januari 3). Matematika Kelas 11 | 4 Metode Pembuktian Matematika. Retrieved July 27, 2020, from blog.ruangguru.com: https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

Unknown. (2017, Juli 9). Logika Matematika Metode Pembuktian. Retrieved Juli 27, 2020, from atikazfblog.blogspot.com: http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1

Wr, O. (n.d.). Logika Pembuktian. Retrieved Juli 27, 2020, from gunadarma.ac.id: http://onggo.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/45225/4%2C5+Logika+Pembuktian+%28ppt%29+-+Onggo+Wiryawan.pdf

Logika Matematika Kelas XI

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh 

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya memberikan contoh soal dengan indikator yang ada, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 11 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

Matematika memiliki cakupan yang sangat luas. Tidal selalu membahas atau mempelajari angka dan perhitungan saja. Namun, terdapat haln lain diluar angka yang dipelajari dalam matematika yang bukan juga merupakan operasi perhitungan, salah satunya adalah logika matematika.

Logika matematika akan memberikan landasan tentang bagaimana cara kita mengambil kesimpulan. Didalam Blog ini akan dirangkum beberapa materi dari logika matematika, diantara lain :

1.1 Pernyataan atau kalimat

1.2 Ingkaran atau negasi atau penyangkalan

1.3 Pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi)

1.4 Ekuivalensi pernyataan – pernyataan majemuk

1.5 Implikasi (Konvers, invers, kontraposisi)

1.6 Pernyataan berkuantor dan ingkarannya

1.7 Penarik kesimpulan (Modus Ponen,  modus tollens, Modus Silogisme)

1.8 Tabel logika matematika

Langsung saja kita bahas, check it out :

1.1 Pernyataan atau kalimat

Pernyataan adalah kalimat yang bisa benar atau bisa salah. Sementara kalimat terbuka adalah jenis kalimat “yang belum diketahui kebenarannya”. Sehingga, untuk menentukan benar atau salahnya, kita perlu pengamatan lebih lanjut.

Kalau kamu masih bingung seperti apa itu contoh pernyataan, berikut adalah salah satu contohnya:

• Indonesia Raya adalah lagu kebangsaan Indonesia. (pernyataan benar)
• Bika ambon berasal dari Ambon. (pernyataan salah)

Di sisi lain, contoh dari kalimat terbuka adalah sebagai berikut:

• 12x + 6 = 91 (pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar 12x jika dijumlahkan dengan 6 akan menghasilkan 91?).
• Maaf ya, aku semalem ketiduran. Hehehe. (Pernyataan ini dinamakan kalimat terbuka karena masih harus dibuktikan kebenarannya. Apakah benar dia semalem nggak bales karena ketiduran? Atau emang males aja chat sama kamu?).
• 8 + 2 = 10 (pernyataan tertutup yang bernilai benar)
• 4 × 6 = 20 (pernyataan tertutup yang bernilai salah)
• 5a + 10 = 40 (pernyataan terbuka, karena harus dibuktikan kebenarannya)
• Jarak Jakarta-Bogor adalah dekat (bukan pernyataan, karena dekat itu relatif)

Setelah mengetahui apa itu pernyataan dan kalimat terbuka, sekarang kita lanjut pembahasan mengenai ingkaran/negasi/penyangkalan. 

1.2 Ingkaran atau negasi atau penyangkalan

1.3 Pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi)

1.4 Ekuivalensi pernyataan – pernyataan majemuk

1.5 Implikasi (Konvers, invers, kontraposisi)

1.6 Pernyataan berkuantor dan ingkarannya

1.7 Penarik kesimpulan (Modus Ponen,  modus tollens, Modus Silogisme)

1.8 Tabel logika matematika

Setelah memahami apa itu pernyataan dan apa itu kalimat terbuka, langkah selanjutnya adalah membahas negasi.

Negasi atau disebut juga ingkaran/penyangkalan merupakan pernyataan yang menyangkal apa yang diberikan. Ingkaran pernyataan dapat dibentuk dengan menambah ‘Tidak benar bahwa …’ didepan pernyataan yang diingkar. Hal ini dilambangkan dengan ~.

Katakanlah p bernilai benar, maka ~p bernilai salah. Begitu juga sebaliknya, jika p bernilai salah, maka ~p bernilai benar.

Contoh Negasi dari pernyataan:

1. Jakarta adalah ibukota Malaysia
   Jakarta bukan ibukota Malaysia
2. 9 adalah bilangan ganjil
   9 bukanlah bilangan ganjil

1.3 Pernyataan majemuk (konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi)

Kemudian, pernyataan dijabarkan lagi menjadi pernyataan majemuk, yang dalam hal ini dibagi menjadi beberapa jenis:

1. Konjungsi
2. Disjungsi
3. Implikasi
4. Biimplikasi

1. Kongjungsi

Konjungsi, yang dilambangkan dengan (Ʌ) merupakan pernyataan majemauk dengan kata penghubung “dan”. Ini akan bernilai benar jika variabel-variabelnya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari variabelnya bernilai salah.

Contoh:
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (pernyataan bernilai benar)
q: Jakarta adalah kota metropolitan (pernyataan bernilai benar)
p^q: Jakarta adalah ibukota Indonesia dan kota metropolitan (pernyataan bernilai benar)

2. Disjungsi

Disjungsi, yang dilambangkan dengan (V) merupakan pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan menggunakan kata penghubung “atau”. Sebuah disjungsi bernilai benar jika salah satu pernyataan bernilai benar dan bernilai salah jika kedua pernyataan bernilai salah.

Contoh:
p: Jakarta adalah ibukota Indonesia (pernyataan bernilai benar)
q: Jakarta adalah kota pelajar (pernyataan bernilai salah)
pVq: Jakarta adalah ibukota Indonesia atau kota pelajar (pernyataan bernilai benar)

3. Implikasi

Implikasi merupakan dua pertanyaan p dan q yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “jika p maka q”. Ini dilambangkan dengan p -> q.

Contoh:
p: Atha rajin belajar (pernyataan bernilai benar)
q: Atha lulus dengan nilai gemilang (pernyataan bernilai benar)
p->q: Jika Atha rajin belajar, maka Atha lulus dengan nilai gemilang (pernyataan bernilai benar)

4. Biimplikasi

Biimplikasi adalah pernyataan majemuk yang dinyatakan dalam bentuk kalimat “… jika dan hanya jika”. Ini dinotasikan dengan p<-> q, dibaca “p jika dan hanya jika q”.

Contoh:
p: 1+1 = 2 (pernyataan bernilai benar)
q: 2 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)
p<->q: 1+1=2 jika dan hanya jika 2 adalah bilangan ganjil (pernyataan bernilai salah)

1.4 Ekuivalensi pernyataan – pernyataan majemuk

Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Sebuah pernyataan majemuk bisa jadi memiliki lebih dari satu pernyataan yang ekuivalen. Perhatikan kembali contoh pernyataan majemuk Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu. Bentuk ekuivalen dari pernyataan majemuk tersebut adalah Jika saya tidak sampai sekolah tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus atau.

Selain itu, terdapat bentuk ekuivalen lain untuk contoh pernyataan majemuk tersebut. Contoh bentuk ekuivalen lain untuk contoh tersebut adalah Saya pergi kesekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu.  

Dalam simbol logika matematika, pernyataan – pernyataan tersebut diberikan seperti daftar berikut.

• p : Saya pergi ke sekolah naik bus.
• q : Saya sampai sekolah tepat waktu.
• Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu. (p → q)
• Jika saya sampai sekolah tidak tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus. (~q → ~p)
• Saya pergi ke sekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu. ~p ∨ q

Bagaiaman sobat idschool dapat mengetahui bahwa pernyataan – pernyataan majemuk tersebut saling ekuivalen? Untuk mengetahuinya, simak bahasan cara membuktikan ekuivalen pernyataan majemuk berikut.

Cara Membuktikan Ekuivalen Pernyataan Majemuk

Dua pernyataan dikatakan ekuivalen (sama) jika kedua pernyataan majemuk tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Sehingga, untuk melihat keabsahan dua pernyataan majemuk yang saling ekuivalen dapat dilihat melalui tabel kebenaran. Sebagai contoh akan diselidiki tiga pernyataan majemuk yang menjadi contoh sebelumnya.

Diberikan dua proposisi tunggal p = Saya pergi ke sekolah naik bus dan q : Saya sampai sekolah tepat waktu.

Akan diselidiki ekuivalensi dari tiga pernyataan majemuk berikut.

• p → q: Jika saya pergi ke sekolah naik bus maka saya sampai sekolah tepat waktu.
• ~q → ~p: Jika saya sampai sekolah tidak tepat waktu maka saya pergi ke sekolah tidak naik bus saya.
• ~p ∨ q: Saya pergi kesekolah tidak naik bus atau saya sampai sekolah tepat waktu.

Perhatikan tabel kebenaran berikut.

Perhatikan pada ketiga kolom p → q, ~q → ~p, dan ~p ∨ q! Ketiga kolom tersebut memiliki nilai kebenaran yang sama. Kondisi ini menjadi bukti bahwa pernyataan – pernyataan majemuk tersebut saling ekuivalen.

Hukum proposisi berikut akan bermanfaat untuk membuktikan ekuivalensi dua buah proposisi.

1. Hukum Involusi: ~(~𝑝) ≡ 𝑝
2. Hukum De Morgan:
   ∼ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∧ ∼ 𝑞 ∼ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ ∼ 𝑝 ∨ ∼ 𝑞
3. Hukum Identitas:
   𝑝 ∨ 𝑆 ≡ 𝑝
   𝑝 ∧ 𝐵 ≡ 𝑝
4. Hukum Absorpsi:
   𝑝 ∨ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ≡ 𝑝
   𝑝 ∧ (𝑝 ∨ 𝑞) ≡ 𝑝
5. Hukum Null (Dominisasi):
   𝑝 ∧ 𝑆 ≡ 𝑆
   𝑝 ∨ 𝐵 ≡ 𝐵
6. Hukum Komutatif:
   𝑝 ∨ 𝑞 ≡ 𝑞 ∨ 𝑝
   𝑝 ∧ 𝑞 ≡ 𝑞 ∧ 𝑝
7. Hukum Negasi:
   𝑝 ∧∼ 𝑝 ≡ 𝑆
   𝑝 ∨∼ 𝑝 ≡ 𝐵
8. Hukum Asosiatif:
   𝑝 ∨ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ (𝑝 ∨ 𝑞) ∨ 𝑟
   𝑝 ∧ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ (𝑝 ∧ 𝑞) ∧ 𝑟
9. Hukum Idempoten:
   𝑝 ∨ 𝑝 ≡ 𝑝
   𝑝 ∧ 𝑝 ≡ 𝑝
10. Hukum Distributif:
    𝑝 ∨ ( 𝑞 ∧ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∨ 𝑞) ∧ (𝑝 ∨ 𝑟)
    𝑝 ∧ ( 𝑞 ∨ 𝑟) ≡ ( 𝑝 ∧ 𝑞) ∨ (𝑝 ∧ 𝑟)

Ekuivalensi pernyataan majemuk lainnya:

1. p → q ≡ ~p ∨ q
2. p → q ≡ ~q → ~p
3. ~(p → q) ≡ p ∧ ~q
4. p → (q → r) ≡ (p ∧ q) → r
5. p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
6. p ↔ q ≡ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨ p)
7. p ↔ q ≡ (p ∧ q) ∨ (~p ∧ ~q)
8. ~(p ↔ q) ≡ p ↔ ~q

1.5 Implikasi (Konvers, invers, kontraposisi)

Konvers, invers dan kontraposisi adalah bentuk lain dari implikasi, dimana:

Konvers dari adalah

Invers dari adalah

Kontraposisi dari adalah

1.6 Pernyataan berkuantor dan ingkarannya

Quantifier atau kuantor adalah kata yang mendahului kata benda sebagai fungsi untuk menunjukkan jumlah dari benda tersebut. Sehingga, pernyataan berkuantor merupakan pernyataan yang mengandung ukuran kuantitas atau jumlah. Kata yang digunakan sebagai penunjuk kuantitas/jumlah biasanya adalah semua, beberapa, ada, dan lain sebagainya. Dalam bahasan logika matematika, pernyataan berkuantor terdiri dari dua kelompok berdasarkan penggunaan kuantornya. Kedua kelompok pernyataan berkuantor tersebut adalah pernyataan dengan kuantor universal (kuantor umum) dan kuantor eksistensial (kuantor khusus).

Antara dua bentuk pernyataan berkuantor ini saling berkebalikan. Kuantor universal menjadi negasi/ingkaran untuk kuantor eksistensial. Begitu juga untuk kondisi sebaliknya. Apa perbedaan dari dua jenis kuantor ini? Bahsan lebih lanjut mengenai pernyataan berkuantor untuk dua jenis kuantor diberikan pada ulasan di bawah.

Kuantor Universal/Kuantor Umum

Pernyataan dengan kuantor universal ditandai dengan penggunaan kata setiap atau semua. Simbol operator logika untuk kuantor universal seperti huruf A yang dicerminkan secara horizontal, yaitu ∀. Notasi ∀x dibaca untuk semua x atau untuk setiap x. Pernyataan berkuantor universal dengan kalimat terbuka p(x) disimbolkan dalam ∀x, p(x).

Misalkan sebuah pernyataan terbuka p(x) adalah pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Pernyataan berkuantor universal menjadi semua pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Adanya kata semua pada sebuah pernyataan menjadi karakteristik dari pernyataan kuantor universal.

Contoh lain pernyataan – pernyataan dengan kuantor universal:

• Semua siswa memakai seragam dengan rapi.
• Setiap benda langit yang bercahaya disebut bintang.
• Tiap – tiap anak memiliki seorang ibu kandung.

Kuantor Eksistensial/Kuantor Khusus

Sebuah pernyataan dengan kuantor eksistensial memiliki karakteristik adanya kata ada, beberapa, terdapat, atau kata – kata yang semakna lainnya. Simbol operator logika untuk kuantor universal seperti huruf E yang dicerminkan secara vertikal, yaitu ∃. Notasi ∃x dibaca ada nilai x, beberapa nilai x, atau terdapat nilai x. Pernyataan berkuantor eksistensial dengan kalimat terbuka p(x) disimbolkan dalam ∃x, p(x).

Perhatikan kembali sebuah pernyataan terbuka p(x) adalah pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Pernyataan berkuantor eksistensial menjadi beberapa pegawai memiliki kemampuan membaca yang baik. Kata beberapa pada sebuah pernyataan menjadi karakteristik dari pernyataan dengan kuantor eksistensial.

Contoh lain pernyataan – pernyataan dengan kuantor eksistensial:

• Ada bunga mawar yang berwarna putih.
• Beberapa rumah memiliki banyak jendela.
• Terdapat bilangan asli x yang memenuhi pertidaksaam kuadrat x² + 2x – 3 > 0.

Ingkaran Pernyataan Berkuantor

Kuantor universal dan eksistensial memiliki hubungan saling berkebalikan. Bentuk ingkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial. Begitu juga untuk ingkaran dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal. Dalam kata lain, negasi/ingkaran dari semua/setiap adalah ada/beberapa/terdapat. Kondisi sebaliknya juga berlaku, negasi/ingkaran ada/beberapa/terdapat dari adalah semua/setiap.

Secara umum, bentuk ingkaran dari semua p adalah terdapat ~p. Sedangkan bentuk ingkaran dari beberapa p adalah semua ~p.

Contoh ingkaran pernyataan berkuantor universal:

• Pernyataan berkuantor: Semua kucing memiliki penglihatan yang baik di malam hari.
  Ingkaran: Beberapa kucing tidak memiliki penglihatan yang baik di malam hari.
• Pernyataan berkuantor: ∀x ∊R  ∍ (2x ≥ 2)
  Ingkaran: ~(∀x ∊R  ∍ (2x ≥ 2)) ≡ ∃x ∊R  ∍ (2x < 2)

Contoh ingkaran pernyataan berkuantor eksistensial:

• Pernyataan berkuantor: Beberapa siswa mendapat nilai matematika yang sempurna pada ujian akhir kali ini.
  Ingkaran: Semua siswa tidak mendapat nilai matematika yang sempurna pada ujian akhir kali ini.
• Pernyataan berkuantor: ∃x ∊R  ∍ (2x – 2 < 0)
  Ingkaran: ~(∃x ∊R  ∍ (2x – 2 < 0)) ≡ ∀x ∊R  ∍ (2x – 2 ≥ 0)

1.7 Penarik kesimpulan (Modus Ponen,  modus tollens, Modus Silogisme)

Modus Ponens

Penarikan kesimpulan modus ponens mengikuti aturan kesimpulan yang sah untuk jika p maka q dan p maka q harus benar. Premis pertama pada modus ponens berupa implikasi, yaitu jika p maka q, sedangkan premis kedua berupa proposisi tunggal, yaitu p. Kesimpulan yang sah dari argumen tersebut berupa proposisi tunggal, yaitu q.

Sebagai contoh: diketahui dua premis jika hari ini langit mendung maka hari ini akan hujan dan hari ini langit mendung. Premis pertama berupa proposisi majemuk dengan operator logika penghubung berupa implikasi. Premis pertama terdiri atas dua proposisi tunggal, yaitu p = hari ini langit mendung dan q = hari ini akan hujan. Premis kedua berupa sebuah proposisi tunggal, yaitu hari ini akan hujan. Kesimpulan yang sah dari argumen tersebut menurut metode penarikan kesimpulan modus ponens adalah hari ini akan hujan.

Kesimpulan yang sah pada modus ponens ini dapat dibuktikan melalui tabel kebenaran. Hasil akhir nilai kebenaran dari kesimpulan pada modus ponens berupa tautologi. Nilai kebenaran berbentuk tautologi pada kolom (p → q ∧ p) → q dapat menjadi bukti bahwa modus ponens merupakan kesimpulan yang sah/berlaku.

Modus Tollens

Kesimpulan yang sah dengan metode modus tollens menggunakan kontraposisi dari implikasi. Hasil kesimpulan merupakan penerapan dari kebenaran umum yang menyatakan bahwa jika sebuah pernyataan bernilai benar maka kontra positifnya juga benar. Diasumsikan jika p maka q (p q) bernilai benar dan diketahui ingkaran q (~q) bernilai benar. Sehingga, agar implikasi dari p dan q bernilai benar maka ingkaran p harus benar.

Sebagai contoh: diketahui dua premis jika hari ini langit mendung maka hari ini akan hujan dan hari ini tidak akan hujan. Premis pertama terdiri atas dua proposisi tunggal, yaitu p = hari ini langit mendung dan q = hari ini akan hujan. Premis kedua berupa sebuah proposisi tunggal bernilai benar, yaitu hari ini tidak akan hujan. Kesimpulan yang sah dari argumen tersebut menurut metode penarikan kesimpulan modus tollens adalah hari ini langit tidak mendung.

Bukti dari kesimpulan yang sah untuk modus tollens juga dapat dibuktikan melalui tabel kebenaran. Bukti yang benar akan menunjukkan bentuk tautologi pada kolom (p → q ∧ ~q) → ~p. Perhatikan bukti bahwa modus tollens merupakan kesimpulan yang sah/berlaku pada tabel kebenaran berikut.

Silogisme

Kesimpulan yang sah dari metode silogisme merupakan kesimpulan dari keadaan yang umum ke yang khusus. Silogisme disusun dari dua pernyataan/argumen dengan sebuah kesimpulan/konklusi. Aturan dasar penarikan kesimpulan silogisme menyatakan bahwa jika p maka q dan r, keduanya bernilai benar, maka jika p maka r juga bernilai benar.

Sebagai contoh: diketahui dua premis jika hari ini langit mendung maka hari ini akan hujan dan jika hari ini akan hujan maka Doni akan membawa payung. Premis pertama terdiri atas dua proposisi tunggal, yaitu p = hari ini langit mendung dan q = hari ini akan hujan. Premis kedua juga terdiri dari dua sebuah proposisi tunggal, yaitu hari ini akan hujan dan Doni membawa payung. Kesimpulan yang sah dari argumen tersebut menurut metode penarikan kesimpulan silogisme adalah jika hari ini langit mendung maka Doni membawa payung.

Bukti dari kesimpulan yang sah untuk silogisme juga dapat dibuktikan melalui tabel kebenaran. Bukti yang benar akan menunjukkan bentuk tautologi pada kolom [(p → q) ∧ (q → r)] → (p→r). Perhatikan bukti silogisme melalui tabel kebenaran berikut.

1.8 Tabel logika matematika

Pengertian Tabel Kebenaran

Pada logika matematika, tabel kebenaran adalah tabel didalam matematika yang dipakai untuk melihat nilai kebenaran pada suatu premis ataupun pernyataan. Jika hasil akhir ialah benar semua (dilambangkan dengan B, T, atau 1), maka disebut tautologi. Akan tetapi jika salah semua (S, F, atau 0) disebut kontradiksi. Premis hasil akhirnya gabungan benar dan salah disebut kontingensi.

Tabel Kebenaran Ingkaran (Negasi)

Ingkaran atau negasi adalah suatu kebalikan atau lawan dari suatu pernyataan. Misalkan ada sebuah pernyataan p bernilai benar, maka negasi dari pernyataan p tersebut adalah bernilai salah. Untuk pernyataan negasi diberi simbol “~”. Untuk tebel kebenarannya bisa dilihat gambar di bawah ini :

p	~p
B	S
S	B

Keterangan :

Maksud B dan S pada tabel ialah B itu Bernilai benar dan S bernilai salah.

Tabel Kebenaran Konjungsi

Konjungsi ialah gabungan dari dua pernyataan tunggal dengan memakai kata hubung “dan“. Simbol dari konjungsi alah “^“. Untuk Lebih jelas perhatikan gambar di bawah ini :

p	q	p^q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

Tabel kebenaran itu pun ada hukumnya, jika nilai kedua pernyataan benar, maka nilai kebenaran konjungsi kedua pernyataan itu pun benar, namun apabila ada salah satu pernyataan yang salah, maka nilai konjungsi kedua pernyataan tersebut pun memiliki nilai salah.

Tabel Kebenaran Disjungsi

Disjungsi ialah gabungan dari dua pernyataan tunggal dan yang menggunakan kata hubung “atau“. Simbol dari disjungsi ialah “CodeCogsEqn (1) “. Untuk tabel kebenaran disjjungsi perhatikan gambar di bawah ini :

p	q	pvq
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

Dalam menentukan nilai kebenaran disjungsi juga mempunyai aturan yaitu, andai salah satu dari dua pernyataan memiliki nilai benar, maka nilai kebenaran disjungsi dari kedua pernyataan itu adalah benar, namun apabila kedua pernyataan tersebut memiliki nilai salah, maka nilai kebenaran disjungsi pun bernilai salah.

Tabel Kebenaran Implikasi

Impilakasi ialah gabungan dari dua pernyataan tunggal dengan kata hubung “jika” dan “maka“. Simbol dari implikasi yaitu “→“. Tabel kebenarannya perhatikan pada gambar di bawah ini :

p	q	p → q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

Pada aturan menentukan nilai kebenaran dari implikasi ialah, jika nilai pernyataan yang ke dua dari dua pernyataan memiliki nilai benar dan jika ke dua pernyataan bernilai sama baik itu benar ataupun salah, jadi nilai kebenaran implikasi yaitu benar, namun apabila nilai kedua pernyataan itu berbeda dengan pernyataan ke duanya bernilai salah, maka nilai kebenaran implikasi dari dua pernyatan tersebut memiliki nilai salah.

Tabel Kebenaran Biimplikasi

Biimplikasi ialah gabungan dari dua pernyataan tunggal dengan kata hubung “jika dan hanya jika, maka “. Simbol dari biimplikasi yaitu “↔“. Contoh tabel untuk nilai kebenaran biimplikasi perhatikan tebel di bawah ini :

Pada aturan nilai kebenaran biimplikasi yaitu, Andai Kedua pernyataan sama, maka nilai kebenaran biimplikasi benar, begitupun sebaliknya andai nilai salah satu dari pernyataan bernilai salah maka nilai kebenaran dari biimplikasi dari kedua pernyataan tersebut adalah salah.

Tabel Kebenaran Negasi Konjungsi

Pada tabel kebenaran negasi konjungsi ini berlaku negasi dari p ∧ q equivalen dengan ~p ∨ ~q. Contoh tabel kebenaran negasi konjungsi lihat tabel di bawah :

Tabel Kebenaran Negasi Disjungsi

Pada nilai kebenaran disjungsi berlaku negasi dari p ∨ q ekuivale dengan ~p ∧ ~q. Contoh tabel kebenaran negasi disjungsi perhatikan tabel di bawah :

Tabel Kebenaran Negasi Implikasi

Pada nilai kebenaran negasi implikasi ialah negasi dari p→q ekuivalen dengan p∧~q , contoh tabel kebenaran nrgasi implikasi seperti contoh dibawah ini

Tabel Kebenaran Negasi Biimplikasi

Negasi dari p↔q ekuivalen dengan (p ∧ ~q) ∨ (q ∧ ~p)
Contoh nilai kebenaran negasi biimplikasi seperti dibawah ini

1.9 Contoh Soal

Contoh 1 – Soal Penarikan Kesimpulan

Diketahui premis – premis sebagai berikut.

1. Jika Siti sakit maka dia pergi ke dokter
2. Jika Siti pergi ke dokter maka dia diberi obat

Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi di atas adalah ….
A.   Jika Siti sakit maka Siti pergi ke dokter dan diberi obat
B.   Jika Siti sakit dan dia pergi ke dokter maka Siti diberi obat
C.   Jika Siti sakit maka Siti diberi obat
D.   Siti sakit dan pergi ke dokter dan diberi obat
E.   Siti sakit dan pergi ke dokter atau diberi obat

Pembahasan:

Misalkan:

• p = Siti sakit
• q = Siti pergi ke dokter
• r  = Siti diberi obat

Penarikan kesimpulan dari arugumen pada soal dapat menggunakan penarikan kesimpula sillogisme.

Premis 1:    p  ⇒ q
Premis 2:   q  ⇒ r
—————-
∴      p ⇒ r

Jadi, kesimpulan yang sah dari argumentasi pada soal adalah jika siti sakit maka siti diberi obat.

Jawaban: C

Contoh 2 – Soal Penarikan Kesimpulan

Ditentukan premis – premis sebagai berikut:

1. Jika Biden makan emping maka penyakitnya kambuh.
2. Jika penyakitnya kambuh maka Biden pergi ke dokter.

Negasi dari penarikan kesimpulan yang sah dari kedua pressmis tersebut adalah ….
A.   Jika Biden makan emping maka ia pergi ke dokter.
B.   Jika Biden tidak makan emping maka ia pergi k e dokter
C.   Jika Biden tidak makan emping maka ia tidak pergi ke dokter
D.   Biden makan emping dan ia tidak pergi ke dokter
E.   Biden tidak makan emping dan ia tidak pergi ke dokter

Pembahasan:

Misalkan:

• p = Biden makan emping
• q = Biden penyakitnya kambuh
• r = Biden pergi ke dokter

Penarikan kesimpulan dari arugumen pada soal dapat menggunakan penarikan kesimpula sillogisme.

Premis 1:    p  ⇒ q
Premis 2:   q  ⇒ r
—————-
∴      p ⇒ r

Ingkaran dari p ⇒ r: ~(p ⇒ r) = p ∧ ~ r:

Jadi, kesimpulan yang sah dari argumentasi pada soal adalah Biden makan emping dan ia tidak pergi ke dokter.

Jawaban: C

Contoh 3 – Soal Penarikan Kesimpulan

Ditentukan premis – premis sebagai berikut:

1. Jika Jono naik bis maka ia terlambat masuk sekolah.
2. Jono tidak terlambat masuk sekolah.

Ingkaran dari kesimpulan yang sah adalah ….
A.   Jono tidak naik bis
B.   Jono naik bis
C.   Jono terlambat masuk sekolah
D.   Jono naik bis dan ia tidak terlambat masuk sekolah
E.   Jono tidak naik bis dan ia terlambat masuk sekolah

Pembahasan:

Misalkan:

• p = Jono naik bis
• q = ia terlambat masuk sekolah

Penarikan kesimpulan dari arugumen pada soal dapat menggunakan penarikan kesimpulan metode modus tollens.

Premis 1:   p  ⇒ q
Premis 2:   ~q
—————-
∴ ~p

Ingkaran ~p: ~(~p) = p

Jadi, kesimpulan yang sah dari argumentasi pada soal adalah Jono naik bis.

Jawaban: C

Contoh 4 – Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “Jika semua siswa hadir, maka beberapa guru tidak hadir” adalah ….
A. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru hadir
B. Semua siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir
C. Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir
D. Beberapa siswa tidak hadir atau semua guru tidak hadir
E. Semua siswa hadir dan beberapa guru hadir

Pembahasan:

Misalkan:

• p = Semua siswa hadir
• q = Beberapa guru tidak hadir

Negasi dari kedua proposisi tunggal di atas adalah:

• ~p = Beberapa siswa tidak hadir
• ~q = Semua guru hadir

Pernyataan: p → q

Salah satu bentuk pernyataan yang ekuivalen denga p → q adalah ~p ∨ q.

Jadi, pernyataan yang ekuivalen dengan pernyataan “Jika semua siswa hadir, maka beberapa guru tidak hadir” adalah “Beberapa siswa tidak hadir atau beberapa guru tidak hadir.”

Jawaban: C

Contoh 5 – Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pernyataan ~p → q ekuivalen dengan ….
A. p ∧ q
B. p ∨ q
C. ~p ∨ q
D. p ∨ ~q
E. q → p

Pembahasan:

Mencari pernyataan majemuk yang ekuivalen dengan p → q:

p → q ≡ ~[~(~p → q)]
p → q ≡ ~[~p ∧ ~q]
p → q ≡ ~(~p) ∨ ~(~q)
p → q ≡ p ∨ q

Jadi, pernyataan ~p → q ekuivalen dengan p ∨ q.

Jawaban: B

Contoh 6 – Menentukan Pernyataan Majemuk yang Ekuivalen

Pembahasan:

Pernyataan yang senilai adalah bentuk ekuivalen pernyataan. Pernyataan yang diberikan berupa suatu implikasi p → q.

Selidiki masing – masing pernyataan yang diberikan pada soal.

• (1) p → q ≢ q → p, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk konvers nya, nilai kebenarannya tidak sama
• (2) p → q ≢ ~p → ~q, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk inversnya, nilai kebenarannya tidak sama
• (3) p → q ≡ ~q → ~p, karena merupakan suatu implikasi dan bentuk kontraposisinya
• (4) p → q ≡ ~[~(p → q)] ≡ ~(p ∧ ~q) ≡ ~p ∨ ~(~q) ≡ ~p ∨ q

Jadi, pernyataan yang benar terdapat pada nomor (3) dan (4).

Jawaban: D

Contoh 7 – Menentukan Nilai Kebenaran Pernyataan Berkuantor

Pernyataan berikut yang bernilai benar adalah ….
A.   (∀x)(6x – 3 ≥ 4)
B.   (∃x)(x ∊R → x² ≥ 0)
C.   (∀x)(x ∊R → x² ≥ 0)
D.   (∀x ∊R)(x² + 3x – 4 > 0)
E.   (∀x ∊R)(x² + 4x – 12 ≤  0)

Pembahasan:

Pernyataan pilihan A salah karena tidak semua nilai x akan berlaku untuk pertidaksamaan 6x – 3 ≥ 4, misalnya untuk nilai x = 1, pertidaksamaan menjadi seperti berikut.
6x – 3 ≥ 4
6(1) – 3 ≥ 4
3 ≥ 4 → pernyataan yang bernilai salah

Pilihan B salah karena semua (∀x) hasil kuadrat bilangan real akan menghasilkan nilai positif (x² ≥ 0), bukan ada  (∃x).

Pernyataan pada pilihan D salah karena ada nilai x yang tidak memenuhi pernyataan, misalnya x = 0.
x² + 3x – 4 > 0
0² + 3(0) – 4 > 0
– 4 > 0 → pernyataan yang bernilai salah

Pernyataan pada pilihan E salah karena ada nilai x yang tidak memenuhi pernyataan, misalnya x = 3.
x² + 4x – 12 ≤  0
3² + 3(3) – 4 ≤ 0
9 + 9 – 4 ≤ 0
– 14 ≤ 0 → pernyataan yang bernilai salah

Jadi, pernyataan berikut yang bernilai benar adalah (∀x)(x ∊R → x² ≥ 0).

Jawaban: C

Contoh 8 – Menentukan Ingkaran Pernyataan Berkuantor

Ingkaran dari pernyataan “Semua makhluk hidup perlu makan dan minum” adalah ….
A. semua makhluk hidup tidak perlu makan dan minum
B. ada makhluk hidup yang tidak perlu makan dan minum
C. ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum
D. semua makhluk hidup perlu makan dan hidup
E. semua makhluk hidup perlu makan tetapi tidak perlu minum

Pembahsan:

Pernyataan pada soal memuat kata semua yang merujuk pada pernyataan berkuantor universal. Bentuk ingkaran pernyataan berkuantor universal: ~(∀x ∍ p(x)) ≡ ∃x ∍ ~p(x)

• Ingkaran dari kata semua ~(∀x) makhluk hidup adalah beberapa (∃x) makhluk hidup
• Ingkaran dari perlu makan dan minum adalah tidak perlu makan atau minum.

Jadi, ingkaran dari pernyataan Semua makhluk hidup perlu makan dan minum adalah ada makhluk hidup yang tidak perlu makan atau minum. Jawaban: C

Contoh 9 – Menentukan Negasi Pernyataan Berkuantor

Ingkaran dari pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita maju pesat adalah ….
A. Jika semua orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita mundur.
B. Jika semua orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita tidak maju pesat.
C. Jika beberapa orang tidak gemar matematika maka iptek negara kita tidak maju pesat.
D. Beberapa orang gemar matematika dan iptek negara kita tidak maju pesat
E. Semua orang gemar matematika tetapi iptek negara kita tidak maju pesat.

Pembahasan:

Pernyataan menggunakan kata semua (∀x) → pernyataan berkuantor universal

Misalkan:

• p = gemar matematika
• q = IPTEK negara kita akan maju pesat

Simbol unutk pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita akan maju pesat: p → q.

Bentuk ingkaran pernyataan berkuantor universal: ~(∀x ∍ p(x)) ≡ ∃x ∍ ~p(x)

• Ingkaran semua orang ~(∀x):  beberapa orang (∃x)
• Negasi/ingkaran untuk sebuah implikasi p → q adalah p ∧ ~q (gemar matematika dan iptek negara kita tidak akan maju pesat)

Jadi, ingkaran dari pernyataan Jika semua orang gemar matematika maka IPTEK negara kita maju pesat adalah Beberapa orang gemar matematika dan iptek negara kita tidak maju pesat.

Jawaban: D

Contoh 10 – Logika Matematika

Premis 1 : Jika Andi rajin belajar, maka Andi juara kelas
Premis 2 : Andi rajin belajar
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               :
Premis 2               : p
Kesimpulan          : q (modus ponens)
Jadi kesimpulannya adalah Andi juara kelas.

Contoh 11 – Logika Matematika

Premis 1 : Jika hari hujan, maka sekolah libur
Premis 2   : sekolah tidak libur
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah ….

Jawab:
Premis 1               :
Premis 2               :
Kesimpulan          : (modus tollens)
Jadi kesimpulannya adalah hari tidak hujan.

Contoh 12 – Logika Matematika

Premis 1 : Jika Ani nakal, maka Ibu marah
Premis 2   : Jika Ibu marah, maka Ani tidak dapat uang saku
Kesimpulan dari kedua premis diatas adalah …

Jawab:
Premis 1               :
Premis 2               :
Kesimpulan          : (silogisme)
Jadi kesimpulannya adalah Jika Ani nakal, maka Ani tidak dapat uang saku.

Contoh 13

Tentukan negasi dari pernyataan-pernyataan berikut:

a) Hari ini Jakarta banjir.

b) Kambing bisa terbang.

c) Didi anak bodoh

d) Siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.

Pembahasan
a) Tidak benar bahwa hari ini Jakarta banjir.
b) Tidak benar bahwa kambing bisa terbang.
c) Tidak benar bahwa Didi anak bodoh
d) Tidak benar bahwa siswa-siswi SMANSA memakai baju batik pada hari Rabu.

Atau boleh juga dengan format berikut:
a) Hari ini Jakarta tidak banjir.
b) Kambing tidak bisa terbang.
c) Didi bukan anak bodoh
d) Siswa-siswi SMANSA tidak memakai baju batik pada hari Rabu.

Contoh 14

Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap” adalah....
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.
B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
D. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.
(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)

Pembahasan
p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap
~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap

Contoh 15

Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):
a) p : Hari ini Jakarta hujan
    q : Hari ini Jakarta banjir

b) p : Iwan memakai topi
    q : Iwan memakai dasi

c) p : Mahesa  anak jenius.
    q : Mahesa anak pemalas.

Pembahasan
a) p : Hari ini Jakarta hujan
    q : Hari ini Jakarta banjir

p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir

b) p : Iwan memakai topi
    q : Iwan memakai dasi

p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi

c) p : Mahesa anak jenius.
    q : Mahesa anak pemalas.

p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas

Kata "dan"  bisa diganti dengan "tetapi", "walaupun", "meskipun" selaraskan dengan pernyataan.

Contoh 16

Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:
a) p : Hari ini Jakarta hujan lebat.
    q : Hari ini aliran listrik putus.

Nyatakan dengan kata-kata:
a) p ∧ q
b) p ∧ ~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q

Pembahasan
a) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik putus
b) Hari ini Jakarta hujan lebat dan aliran listrik tidak putus

c) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik putus
d) Hari ini Jakarta tidak hujan lebat dan aliran listrik tidak putus

Contoh 17

Gabungkan pasangan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan operasi disjungsi (ATAU):
a) p : Ibu memasak ayam goreng
   q : Ibu membeli soto babat di pasar

b) p : Pak Bambang mengajar matematika
   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

Pembahasan
a) p : Ibu memasak ayam goreng
   q : Ibu membeli soto babat di pasar

   p ∨ q : Ibu memasak ayam goreng atau membeli soto babat di pasar.

b) p : Pak Bambang mengajar matematika
   q : Pak Bambang mengajar bahasa inggris

   p ∨ q : Pak Bambang mengajar matematika atau bahasa inggris

Contoh 18

Negasi dari pernyataan " Matematika tidak mengasyikkan atau membosankan" adalah...
A. Matematika mengasyikkan atau membosankan
B. Matematika mengasyikkan atau tidak membosankan
C. Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan
D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak membosankan
E. Matematika tidak mengasyikkan dan membosankan
(Soal UN Matematika 2008)

Pembahasan
Untuk menentukan negasi dari suatu konjungsi atau disjungsi perhatikan dalil de Morgan berikut:
~(p ∧ q ) ≅ ~p ∨ ~q
~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

p : Matematika tidak mengasyikkan

q : Matematika  membosankan

Negasi untuk p dan q masing-masing adalah:
~p : Matematika mengasyikkan
~q : Matematika tidak membosankan

Gunakan dalil de Morgan untuk negasi disjungsi

~(p ∨ q) ≅ ~p ∧ ~ q

sehingga

~p ∧ ~ q : Matematika mengasyikkan dan tidak membosankan

Contoh 19

Diberikan pernyataan:
p : Tahun ini kemarau panjang.
q : Tahun ini hasil padi meningkat.
Nyatakan dengan kata-kata:
a) p → q
b) ~p → ~q
c) p → ~q

Pembahasan
Implikasi, formatnya adalah "jika p maka q" sehingga:
a) p → q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi meningkat

b) ~p → ~q : Jika tahun ini tidak kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.
c) p → ~q : Jika tahun ini kemarau panjang maka hasil padi tidak meningkat.

Contoh 20

Tentukan ingkaran dari pernyataan:
"Jika cuaca cerah maka maka Amir bermain sepakbola"

Pembahasan
Ingkaran dari sebuah implikasi  p → q adalah p dan ~q

~(p → q) ≅  p ∧ ~ q

sehingga ingkaran dari pernyataan di atas adalah "Cuaca cerah dan Amir tidak bermain sepakbola"

Contoh 21

Perhatikan pernyataan berikut:
"Jika cuaca mendung maka Charli membawa payung"

Tentukan konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan di atas!

Pembahasan
Dari implikasi p → q

p : Cuaca mendung
q : Charli membawa payung

Konversnya adalah q → p
yaitu "Jika Charli membawa payung maka cuaca mendung"

Inversnya adalah ~p → ~q
yaitu "Jika cuaca tidak mendung maka Charli tidak membawa payung"

Kontraposisinya adalah ~q → ~p
yaitu "Jika Charli tidak membawa payung maka cuaca tidak mendung"

Contoh 22

Kontraposisi dari "Jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan berjalan lancar" adalah....
A. jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak
B. jika tidak semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar
C. jika semua warga negara membayar pajak maka pembangunan tidak berjalan lancar
D. jika pembangunan berjalan lancar maka tidak semua warga negara membayar pajak
E. jika pembangunan tidak berjalan lancar maka semua warga negara tidak membayar pajak
(Soal Ebtanas 1995)

Pembahasan
p : semua warga negara membayar pajak
q : pembangunan berjalan lancar

Konversnya adalah ~q → ~p yaitu "Jika pembangunan tidak berjalan lancar maka ada warga negara yang tidak membayar pajak"

Contoh 23

Premis 1 : Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
Premis 2 : Budi rajin berolahraga.

Pembahasan
Modus Ponens
p → q
p
________
∴ q

Jika Budi rajin berolahraga maka badannya sehat.
                     p                                q

Budi rajin berolahraga
              p

Kesimpulan adalah q : Badan Budi sehat

Contoh 24

Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika hari cerah maka Budi bermain bola.
Premis 2 : Budi tidak bermain bola.

Pembahasan
p : Hari cerah
q : Budi bermain bola

Penarikan kesimpulan dengan prinsip Modus Tollens
p → q
~q
_______
∴ ~p

Sehingga kesimpulannya adalah " Hari tidak cerah "

Contoh 25

Tentukan kesimpulan dari :
Premis 1 : Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ayah.
Premis 2 : Jika Budi disayang ayah maka ia disayang ibu.

Pembahasan
Penarikan kesimpulan dengan prinsip silogisme
p → q
q → r
_________
∴ p → r

Sehingga kesimpulannya adalah " Jika Budi rajin belajar maka ia disayang ibu"

Contoh 26

Diketahui pernyataan :
1. Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
2. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
3. Ani tidak memakai payung.

Kesimpulan yang sah adalah...
A. Hari panas.
B. Hari tidak panas.
C. Ani memakai topi.
D. Hari panas dan Ani memakai topi.
E. Hari tidak panas dan Ani memakai topi.

Pembahasan
Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.
Premis (3) Ani tidak memakai payung.

p : Hari panas
q : Ani memakai topi
r : Ani memakai payung

Selesaikan terlebih dahulu premis (1) dan (2) kemudian digabungkan dengan premis (3)

Dari premis (1) dan (2)
Premis (1) Jika hari panas, maka Ani memakai topi.
Premis (2) Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung.

p → q
~q ∨ r

Ingat bentuk berikut:
~q ∨ r ekivalen dengan q → r

sehingga bentuk di atas menjadi :
p → q
q → r
_____
∴ p → r      (Silogisme)

Dari sini gabungkan dengan premis ketiga:
p→ r
~r
_____
∴ ~p           (Modus Tollens)

Kesimpulan akhirnya adalah ~p yaitu "Hari tidak panas"

Contoh 27

Diketahui premis-premis berikut:
Premis 1 : Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan bersih.
Premis 2: Jika lingkungan bersih maka hidup akan nyaman.

Kesimpulan yang sah dari kedua premis tersebut adalah…
A. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.
B. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.
C. Jika masyarakat membuang sampah tidak pada tempatnya maka lingkungan tidak akan bersih.
D. Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka lingkungan tidak bersih.
E. Masyarakat membuang sampah pada tempatnya tetapi lingkungan tidak bersih.

Pembahasan
Penarikan kesimpulan. Premisnya berpola silogisme:


Sehingga kesimpulannya adalah “Jika masyarakat membuang sampah pada tempatnya maka hidup akan nyaman.”

Contoh 28

Pernyataan yang setara dengan “jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik” adalah…
A. Harga BBM naik dan harga kebutuhan pokok naik.
B. Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik.
C. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan naik.
D. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok tidak naik.
E. Jika harga BBM tidak naik maka harga kebutuhan pokok akan turun.
(Logika - UN SMA IPS 2013)

Pembahasan
Seperti contoh di atas, dengan penggunaan format yang (i):
“Jika harga BBM naik maka harga kebutuhan pokok akan naik”
setara dengan
"Harga BBM tidak naik atau harga kebutuhan pokok akan naik"
Jawaban: B

Diatas adalah pembahasan tentang "Logika Matematika"semoga bermanfaat sampai bertemu di pembahasan selanjutnya.

Salam Hormat

Paisal Vieri Eka Tama Simbolon

DAFTAR PUSTAKA

A.Q., F. K. (2020). Logika Matematika. Retrieved Juli 13, 2020, from www.studiobelajar.com: https://www.studiobelajar.com/logika-matematika/

Admin. (n.d.). 10 SMA Soal Pembahasan Logika Matematika . Retrieved Juli 13, 2020, from matematikastudycenter.com: https://matematikastudycenter.com/kelas-10-sma/93-10-sma-soal-pembahasan-logika-matematika

Admin. (2020, Juli 2). 3 metode penarikan kesimpulan. Retrieved Juli 2, 2020, from idschool.net: https://idschool.net/sma/3-metode-penarikan-kesimpulan/

Admin. (2020, Juli 7). bentuk ekuivalen pernyataan majemuk. Retrieved Juli 2020, 13, from idschool.net: https://idschool.net/sma/bentuk-ekuivalen-pernyataan-majemuk/

Admin. (2020, Julii 5). pernyataan berkuantor universal dan eksistensial. Retrieved Juli 13, 2020, from idschool.net: https://idschool.net/sma/pernyataan-berkuantor-universal-dan-eksistensial/

Murjana, A. (2020, Maret 24). Tabel Kebenaran Konjungsi, Disjungsi, Implikasi, Biimplikasi. Retrieved Juli 13, 2020, from rumusrumus.com: https://rumusrumus.com/tabel-kebenaran/

Pintar, K. (2019, Agustus 30). Logika Matematika, dari Negasi hingga Biimplikasi. Retrieved Juli 13, 2020, from www.kelaspintar.id: https://www.kelaspintar.id/blog/inspirasi/logika-matemarika-dari-negasi-hingga-biimplikasi-1349/