Metode Pembuktian dalam Matematika

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh 

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya membahas tentang Metode Pembuktian dalam Matematika, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 11 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

Ada 3 Poin yang akan kita bahas hari ini, antara lain:

1. Pembuktian Langsung
2. Pembuktian Tidak Langsung
3. Induksi
   

Langsung ajaaaa

Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C” hehe. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Contohnya adalah

• Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap
• Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k. Contoh "6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga 6 = 2(3)" "-4 adalah genap, sebab terdapat (-2) sehingga -4 = 2(3)"
• Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k + 1. Contoh 3 adalah ganjil, sebab terdapat 1 sehingga 3 = 2(1) + 1" "-3 adalah ganjil, sebab terdapat (-2) sehingga -3 = 2(-2) + 1"

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n 2 adalah ganjil.

Jawab :

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1.

Akan ditunjukkan bahwa n 2 ganjil.

n 2 = (2k + 1)2

= 4k 2 + 4k + 1

= 2(2k 2 + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n 2 = 2(2k 2 + 2k) +1.

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k 2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n^2 adalah ganjil.

Contoh Soal 2

Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka buktikan bahwa mn adalah juga kuadrat sempurna.

Jawab :

Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya

m   = k 2 , n = p 2 , untuk suatu k, p suatu bilangan bulat.

mn = (k2 )(p2 )

      = (kp)2

Karena k, p

Pembuktian Tidak Langsung 

Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

(1) Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi. Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

*Mudahnya, Kontraposisi adalah Pembalikan susunan dari invers itu sendiri. Misalnya : Pernyataan ~q=>~p, maka ini disebut Kontraposisi dari p=>q.

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya

Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n²  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.

(2) Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh Soal :

Contoh Soal 1 :

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangkan dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.

Jawab :

Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama”

Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari.

Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu.

Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari.

Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p  (r  -r).

Artinya p bernilai benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1  kedalam pernyataan P(k).

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Buktikan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi :
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
                                                = (k + 1)(k + 2)
                                                = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh Soal 2

Buktikan 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n² benar, untuk setiap n bilangan asli

Jawab :
P(n) :  1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²
Akan ditunjukkan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
1 = 1²
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k²,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Dari asumsi :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k²
Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
                                                                  = k² + 2k + 1
                                                                  = (k + 1)²
Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh Soal 3
Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
6^k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
6^k+1 + 4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
              = 5(6^k) + 6^k + 4

Karena 5(6^k) habis dibagi 5 dan 6^k + 4 habis dibagi 5, akibatnya 5(6^k) + 6^k + 4 juga habis dibagi 5.
Jadi, P(k + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.


Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, "10 habis dibagi 5" benar karena terdapat bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan "10 habis dibagi 5" dapat kita tulis menjadi "10 = 5m, untuk m bilangan bulat"

Contoh Soal 4

Buktikan n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli

Jawab :
P(n) :  n³ + 2n = 3m, dengan m ∈ $Z$
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ $N$

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
1³ + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
k³ + 2k = 3m,    k ∈ $N$

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ $Z$

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)

Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k² + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k² + k + 1), maka
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ $Z$
Jadi, P(k + 1) benar

DAFTAR PUSTAKA

Alwin Mulyanto, S. (2020). Induksi Matematika. Retrieved Juli 27, 2020, from www.studiobelajar.com: https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/

Maker, Z. (2017, Juli 15). Induksi Matematika. Retrieved Juli 27, 2020, from smatika.blogspot.com: https://smatika.blogspot.com/2017/07/induksi-matematika.html

Melkianusbenusu. (2016, Oktober 10). Apa Itu Kontraposisi. Retrieved Juli 27, 2020, from melkianusbenusu.wordpress.com: https://melkianusbenusu.wordpress.com/2016/10/10/apa-itu-kontraposisi/

Pratama, R. P. (2019, Januari 3). Matematika Kelas 11 | 4 Metode Pembuktian Matematika. Retrieved July 27, 2020, from blog.ruangguru.com: https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

Unknown. (2017, Juli 9). Logika Matematika Metode Pembuktian. Retrieved Juli 27, 2020, from atikazfblog.blogspot.com: http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1

Wr, O. (n.d.). Logika Pembuktian. Retrieved Juli 27, 2020, from gunadarma.ac.id: http://onggo.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/45225/4%2C5+Logika+Pembuktian+%28ppt%29+-+Onggo+Wiryawan.pdf