PAISAL VIERI EKA TAMA SIMBOLON (28) XI IPS 2

Shalom

Om Swastiastu

Namo Buddhaya

Rahayu

Salam Kebajikan

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

ﺇِﻥَّ ﺍﻟْﺤَﻤْﺪَ ﻟِﻠَّﻪِ ﻧَﺤْﻤَﺪُﻩُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻌِﻴْﻨُﻪُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻐْﻔِﺮُﻩْ ﻭَﻧَﻌُﻮﺫُ ﺑِﺎﻟﻠﻪِ ﻣِﻦْ ﺷُﺮُﻭْﺭِ ﺃَﻧْﻔُﺴِﻨَﺎ ﻭَﻣِﻦْ ﺳَﻴِّﺌَﺎﺕِ ﺃَﻋْﻤَﺎﻟِﻨَﺎ، ﻣَﻦْ ﻳَﻬْﺪِﻩِ ﺍﻟﻠﻪُ ﻓَﻼَ ﻣُﻀِﻞَّ ﻟَﻪُ ﻭَﻣَﻦْ ﻳُﻀْﻠِﻞْ ﻓَﻼَ ﻫَﺎﺩِﻱَ ﻟَﻪُ. ﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻻَ ﺇِﻟَﻪَ ﺇِﻻَّ ﺍﻟﻠﻪ ﻭَﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻣُﺤَﻤَّﺪًﺍ ﻋَﺒْﺪُﻩُ ﻭَﺭَﺳُﻮْﻟُﻪُ.

Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) murid kelas XI IPS 2 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta.

LANGSUNG YAKK...................

Barisan dan Deret – Aritmatika

Barisan merupakan urutan dari suatu anggota-anggota himpunan berdasarkan suatu aturan tertentu. Setiap anggota himpunan diurutkan pada urutan/suku pertama, kedua, dan seterusnya. Untuk menyatakan urutan/suku ke-n dari suatu barisan dinotasikan $U_n$ . Barisan juga dapat didefinisikan sebagai fungsi dari bilangan asli atau fungsi yang domainnya himpunan bilangan asli. Sehingga, $U_n = f(n)$

barisan dan deret sebagai fungsi

Misalkan $U_n = (2n + 1)$ , maka suku ke-4 dari baris tersebut adalah $U_4 = (2(4) + 1) = 9$ .

Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Penjumlahan suku-suku tersebut bisa dibuat dalam bentuk sigma. Barisan dari suku U₁, U₂, U₃, …, U_n yang dinyatakan dalam fungsi f(n) = U_n $f(n) = U_n$ memiliki deret sebagai:

$U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_n = \sum \limits_{i=1}^{n} {U_i}$

Baris Aritmatika

Baris aritmatika merupakan baris yang nilai setiap sukunya didapatkan dari suku sebelumnya melalui penjumlahan atau pengurangan dengan suatu bilangan b. Selisih antara nilai suku-suku yang berdekatan selalu sama yaitu b. Sehingga:

$U_n - U_{(n - 1)} = b$

Sebagai contoh baris 1, 3, 5, 7, 9, merupakan baris aritmatika dengan nilai:

b = (9 – 7) = (7 – 5) = (5 – 3) = (3 – 1) = 2

Untuk mengetahui nilai suku ke-n dari suatu barisan aritmatika dapat diketahui dengan mengetahui nilai suku ke-k dan selisih antar suku yang berdekatan (b). rumusannya berikut ini:

$U_n = U_k + (n - k)b$

Jika yang diketahui adalah nilai suku pertama $U_k = a$ dan selisih antar sukunya (b), maka nilai k = 1 dan nilai $U_n$ adalah:

$U_n = a + (n - 1)b$

Deret Aritmatika

Deret aritmatika adalah penjumlahan suku-suku dari suatu barisan aritmatika. Penjumlahan dari suku-suku petama sampai suku ke-n barisan aritmatika dapat dihitung sebagai:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_{(n-1)}$

atau sebagai:

$S_n + a + (a + b) + (a + 2b) + \cdots + (a + (n - 2)b) + (a + (n - 1)b)$

Jika hanya diketahui nilai a dalalah suku pertama dan nilai adalah suku ke-n, maka nilai deret aritmatikanya adalah:

$S_n = \frac{n}{2}(a + U_n)$

Persamaan tersebut bisa dibalik untuk mencari nilai suku ke-n menjadi:

$S_n = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots +U_(n-1)$ .

$S_(n-1) = U_1 + U_2 + U_3 + \cdots + U_(n-1)$ .

$S_n - S_(n-1) = U_n$

Sehingga diperoleh $U_n = S_n - S_(n-1)$ .

Sisipan

Jika hendak membuat sebuah baris aritmatika dengan telah diketahui nilai suku pertama (a) dan suku terakhirnya (p), dapat disisipkan sejumlah bilangan diantara keduan bilangan tersebut. Sejumlah bilangan (q buah) tersebut menjadi suku-suku baris aritmatika dan memiliki selisih antar suku beredekatan (b). Baris aritmatika tersebut memiliki jumah suku q + 2 dan diurut berupa:

a, (a + b), (a + 2b), (a + 3b), …, (a + q.b), (a + (q+1)b)

Diketahui bahwa suku terakhir:

(a + (q+1)b) = p

Maka, nilai b dapat ditentukan sebagai:

$b = \frac{p-a}{q+1}$

Misalkan a= 1 dan p = 9, jika disisipkan 3 bilangan diantara a dan p, maka baris belangan aritmatikanya adalah:

Nilai q = 3
Jumlah suku = q + 2 = 3 + 2 = 5
$b = \frac{9-1}{3+1} = \frac{8}{4}= 2$
Baris aritmatika : 1, 3, 5, 7, 9

Suku Tengah

Jika barisan aritmatika memiliki jumlah suku ganjil, maka memiliki suku tengah. Suku tengah baris aritmatika adalah suku ke- $\frac{1}{2}(n+1)$ . Jika diselesaikan dalam rumus $U_n = a + (n - 1)b$ , maka nilai suku tengah didapatkan:

$U_n = a + (n - 1)b$

$U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = a + (\frac{1}{2}(n + 1) - 1)b$

$= a + (\frac{1}{2}n - \frac{1}{2})b = a + \frac{1}{2}(n - 1)b$

$= \frac{2a+(n - 1)b}{2} = \frac{a + a(n - 1)b}{2}$

$U_{\frac{1}{2}(n + 1)} = \frac{a + U_n}{2}$

Contoh Soal

Contoh Soal 1 :

Suku ke-40 dari barisan 7, 5, 3, 1, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 7
b = –2
ditanya $U_{40}$

Jawab:
$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{40}=7+(40-1)(-2)$
= 7 + 39 . (-2)
= 7 + (-78)
= – 71
Jadi, suku ke-40 barisan aritmatika tersebut adalah –71.

Contoh Soal 2 :

Tentukan suku ke-20 dari barisan 2, 6, 10, 14, …, …,!

Pembahasan:

Diketahui:

a = 2

b = 6 – 2 = 4

Ditanya: U₂₀ =…?

Pembahasan:

Contoh Soal 3 :

Dalam suatu gedung pertunjukkan disusun kursi dengan baris paling depan terdiri dari 12 kursi, baris kedua berisi 14 kursi, baris ketiga berisi 16 kursi, dan seterusnya. Banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 12

b = 2

Ditanyakan $U_{20}=?$

Jawab:

$U_{n}=a+(n-1)b$
$U_{20}=12+(20-1)2$
$=12+(19).2$
$=12+(38)$
$=50$

Jadi, banyaknya kursi pada baris ke-20 adalah 50 kursi.

Contoh Soal 4 :

Suku tengah barisan aritmetika adalah 15. Jika banyaknya suku barisan tersebut 11 dan suku ke-4 bernilai -3, tentukan suku terakhirnya!

Pembahasan:

Diketahui:

U_t = 15

n = 11

Ditanya: U_n =…?

Pembahasan:

Pertama, Quipperian harus mencari nilai t.

Suku tengah adalah suku ke-6. Artinya, U₆ = 15.

Untuk mencari nilai a dan b, gunakan metode eliminasi.

Substitusikan nilai b ke persamaan (1).

Selanjutnya, tentukan suku terakhir barisan tersebut.

Jadi, suku terakhirnya adalah 60.

Contoh Soal 5 :

Diketahui suatu barisan aritmatika 3,7,11,15,….,Un. Tentukan berapa suku ke-sepuluh U₁₀ baris diatas?

Pembahasan:

Diketahui dari barisan diatas bahwa suku pertamanya a adalah 3, mempunyai beda b yaitu 4 dan n = 10.

Berapa suku ke-sepuluh U₁₀ nya? menggunakan rumus sebelumnya , U₁₀ didapatkan sebagai berikut

U_n = a + (n-1)b

U₁₀= 3 + (10-1)4

= 3 + 36

= 39

Jadi, suku ke-sepuluh dari barisan aritmatika diatas adalah 39

Contoh Soal 6 :

Rumus jumlah n suku pertama deret bilangan 2 + 4 + 6 + … + $U_{n}$ adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 2

b = 2

Ditanya: rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$=\frac{n}{2}(2.2+(n-1)2)$
$=\frac{n}{2}(4+2n-2)$
$=\frac{n}{2}(2+2n)$
$=\frac{n}{2}.2(1+n)$
$=n(1+n)$
$=n+n^{2}$

Jadi, rumus jumlah n suku pertama barisan aritmatika tersebut adalah $S_{n}=n+n^{2}$

Contoh Soal 7 :

diketahui suatu barisan 5, -2, -9, -16,…., maka tentukanlah rumus suku ke – n nya?

Jawab :

Selisih 2 suku berurutan pada barisan 5, -2, -9, -16,… adalah tetap, yakni b = -7 sehingga barisan bilangan nya di sebut dengan barisan aritmatika.

Rumus suku ke – n barisan aritmatika tersebut ialah :

U_n = a + ( n – 1 ) b
U_n = 5 + ( n – 1 ) ( -7 )
U_n = 5 – 7n + 7
U_n = 12 – 7n

Contoh Soal 8 :

Rumus suku ke-n dari barisan 5, –2, –9, –16, … adalah …

Pembahasan:

Diketahui: a = 5

b = –7

Ditanya: rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut = ?

Jawab:

$U_{n}=a+(n-1)b$
$=5+(n-1).(-7)$
$=5-7n+7$
$=12-7n$

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah $U_{n}=12-7n$

Contoh Soal 9 :

Diketahui barisan aritmatikan dengan U4 = 11 dan U8 = 23. Suku ke 15 dari suku barisan aritmatika itu adalah …..

a). 345

b). 44

c). 49

d). -40

e). -44

Penyelesaian :

Un = a + (n-1)b
= a + (4-1)b = 11
= a + 36 = 11
U8 = a + (8-1)b = 23
= a + 7b = 23

Contoh Soal 10 :

Jumlah suku yang pertama dari barisan 20 + 15 + 10 +…… adalah …..

a). -550

b). -250

c). -75

d). -115

c). -250

Penyelesaian :

a = 20
b = U2-U1
   = 15-20
   =   -5
Sn = n (a + Un)
Un = a + (n – 1) b
U20 = 20 + (20-1)(-5)
        = 20 + (19) (-5)
        = 20 – 95
        = – 75
S20 = . 20 (20 + (-75))
       = 10 (-55)
S20 = – 550

Contoh Soal 11 :

Suatu deret aritmatika 5, 15, 25, 35, …
Berapakah jumlah 10 suku pertama dari deret aritmatika tersebut?

Jawab:

n = 10
U1 = a = 5
b = 15 – 5 = 25 – 15 = 10
Sn = (2a + (n-1) b )
S10 = ( 2. 5 + (10 -1) 10)
= 5 ( 10 + 9.10)
= 5 . 100 = 500

Contoh Soal 12 :

Seorang pemilik kebun memetik jeruknya setiap hari,dan mencatat banyaknya jeruk yang dipetik. Ternyata banyaknya jeruk yang dipetik pada hari ke-n memenuhi rumus Un= 50 + 25n. Jumlah jeruk yang telah dipetik selama 10 hari yang pertama adalah …..

a).2000

b).1950

c).1900

d).1875

e).1825

Penyelesaian :

Sn = n (2a +(n-1)b)
S10 = 10 (2.75+(10-1)25)
S10 = 5 (150+(9.25)
S10 = 5 (150+225)
S10 = 5 (375)
S10 = 1875 buah

Contoh Soal 13 :

Diketahui suatu deret aritmatika 3+7+11+15+….+Un. Tentukan jumlah suku ke-sepuluh U₁₀ deret diatas

Pembahasan:

Diketahui pada deret diatas a = 3, b = 4 dan n= 10, Ditanyakan berapakah jumlah suku ke-10 deret diatas.

Dengan menggunakan rumus

Sn = n/2 (2a+(n-1)b)

S₁₀ = 10/2 (2.3+(10-1). 4)

= 5.(6+36)

=210

Jadi, jumlah deret suku ke-sepuluh diatas adalah 252

Contoh Soal 14 :

Berapakah jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100?

Pembahasan:

Jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah sebagai berikut.

Keterangan:

a = 12

banyaknya suku = 30

Jadi, jumlah bilangan kelipatan 3 antara 10 sampai 100 adalah 1.665.

Contoh Soal 15 :

Suatu deret aritmatika memiliki suku ke-5 sama dengan 42, dan suku ke-8 sama dengan 15. Jumlah 12 suku pertama deret tersebut adalah?

Pembahasan:

Diketahui bahwa $U_5 = 42$ , $U_8 = 15$ , maka dapat digunakan rumus :

$U_n = U_k + (n - k)b$

Dimana:

$U_8 = U_5 + (8 - 5)b$

$15 = 42 + (8 - 5)b$

$3b = -27$

$b = -9$

Sehingga:

$U_5 = 42 = a + 4b = a + 4(-9) = a - 36$

$78 = a$

$U_{12} = a + 11b = 78 + 11(-9) = 78 - 99 = -21$

Diperoleh:

$S_{12} = \frac{n}{2} (a + U_12) = \frac{12}{2} (78 + (-21)) = 6 \times 57 = 342$

Contoh Soal 16 :

Diketahui deret aritmatika dengan suku ke-3 adalah 24 dan suku ke-6 adalah 36. Jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah …

Pembahasan:

Diketahui $U_{3}=24$
$U_{6}=36$

Ditanya: $S_{15}=?$

Jawab:

Sebelum kita mencari nilai dari $S_{15}$ , kita akan mencari nilai a dan b terlebih dahulu dengan cara eliminasi dan subtitusi dari persamaan $U_{3}$ dan $U_{6}$ .

Sebelumnya mari ingat lagi bahwa $U_{n}=a+(n-1)b$ sehingga $U_{3}$ dan $U_{6}$ dapat ditulis menjadi $U_{3}=24$

$a+(3-1)b=24$
$a+2b=24$ . . .(i)
$U_{6}=36$
$a+(6-1)b=36$
$a+5b=36$ . . .(ii)

Eliminasi a menggunakan persamaan i dan ii.

a + 2b = 24
a + 5b = 36 –
-3b = -12
$b=\frac{-12}{-3}$
b = 4

Lalu, substitusikan nilai b = 4 ke salah satu persamaan (contoh persamaan i).

a + 2b = 24

a + 2 . 4 = 24

a + 8 = 24

a= 24 – 8

a = 16

Setelah mendapatkan nilai a dan b, baru kita bisa mencari nilai dari $S_{15}$
$S_{n}=\frac{n}{2}(2a+(n-1)b)$
$S_{15}=\frac{15}{2}(2.16+(15-1)4)$
$=\frac{15}{2}(32+14.4)$
$=\frac{15}{2}(32+56)$
$=\frac{15}{2}.88$
$=660$

Jadi, jumlah 15 suku pertama deret tersebut adalah 660.

Contoh Soal 17 :

Diketahui suatua barisan aritmatika :2, 6, 10, 14, 18, ………U_n. Tentukan rumus suku ke-n dalam barisan aritmetika tersebut.

Pembahasan:

Diketahui baris aritmatika diatas, a = 2 dan b = 4, Ditanyakan rumus suku ke-n

Un = a+(n-1) b

Un = 2+(n-1)4

Un= 2+4n-4

Un=4n-2

Jadi, rumus ke-n untuk baris diatas adalah Un=4n-2.

Contoh Soal 18 :

Mulai tahun 2000, Pak Arman mempunyai kebun tebu. Penghasilan kebun

tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000 adalah Rp 6.000.000,-. Mulai tahun

2001, Pak Arman memupuk kebun tebunya dengan pupuk kandang. Pak

Arman memperkirakan bahwa setiap akhir tahun, penghasilan kebun tebunya

naik Rp 500.000,-. Berapa perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada

akhir tahun 2005?

Penyelesaian

Misalkan:

a = penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2000.

b = perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap akhir tahun.

P2005 = perkiraan penghasilan kebun Pak Arman pada akhir tahu 2005.

Jadi a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000,-, dan P2005 akan dicari.

Karena perkiraan kenaikan penghasilan kebun tebu Pak Arman setiap

akhir tahun adalah tetap, maka untuk menentukan penghasilan kebun Pak

Arman pada akhir tahun 2005, kita dapat menerapkan rumus unsur ke n dari

barisan aritmatika dengan

U1 = a = a = Rp 6.000.000,-, b = Rp 500.000.
P2005 = U6 = a + 5b
= 6.000.000 + 5(500.000)
= 6.000.000 + 2.500.000
= 8.500.000.

Jadi perkiraan penghasilan kebun tebu Pak Arman pada akhir tahun 2005

adalah Rp 8.500.000,-

Contoh Soal 19 :

Diketahui suatu deret aritmetika dengan suku pertama 10 dan suku keenam 20.
a. Tentukan beda deret aritmetika tersebut.
b. Tuliskan deret aritmetika tersebut.
c. Tentukan jumlah enam suku pertama deret aritmetika tersebut.

Pembahasan:

Diketahui jika a=10 dan U6 = 20,

a. Un = a+(n-1)b

U6= a+(6-1) b

20= 10+(5)b

b= 10/5 = 2

b. Deret aritmatika : 10+12+14+16+18+20+…+Un

c. Jumlah Suku ke-enam S6,

Sn =n/2 (2a+(n-1)b)

S6= 6/2 (2.10+(6-1) 2)

=3(20+10)

=90

Jadi, jumlah Suku ke-enam deret diatas adalah 90

Contoh Soal 20 :

Dua piluh pekerja mendapat upah harian dengan hasil pekerjaannya sebagai berikut : pekerja 1 mendapat Rp.12.000, pekerja 2 mendapat Rp.12.500, pekerja 3 mendapat Rp.13.000 dan seterusnya hingga upah tersebut membentuk deret aritmatika. Jumlah upah satu hati yang harus disiapkan oleh pemberi upah adalah …..

a).Rp. 670.000

b).Rp. 340.000

c).Rp. 335.000

d).Rp. 220.000

e).Rp. 700.000

Penyelesaian :

Sn = n (2a + (n-1)b)
S20 =
20 (2.12000+(20-1)500)
       = 20 (24000+19)500)
       = 10 (24000+9500)
       = 10 (33.500)
       = 335.000

Terima kasih kepada Ibu DR Lizza Novrida, semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkahi tuhan yang maha esa.

Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Daftar Pustaka

Admin. (2019, Desember 19). Barisan dan Deret – Matematika Kelas 11 . Retrieved November 2020, 2020, from www.quipper.com: https://www.quipper.com/id/blog/mapel/matematika/barisan-dan-deret-matematika-kelas-11/#Contoh_soal_3

Admin. (n.d.). Barisan dan Deret – Aritmatika, Geometri, Tak Hingga. Retrieved November 2, 2020, from www.studiobelajar.co: https://www.studiobelajar.com/barisan-deret-aritmatika-geometri/

Admin. (n.d.). Deret Aritmatika – Rumus Lengkap dan Contoh Soalnya. Retrieved November 2, 2020, from saintif.com: https://saintif.com/deret-aritmatika/

Octavia, B. (2020, Januari 31). Barisan dan Deret Aritmatika: Rumus, Contoh Soal dan Pembahasan Lengkap. Retrieved November 2, 2020, from www.zenius.net: https://www.zenius.net/blog/23365/materi-soal-barisan-deret-aritmatika

Pendidikan, G. (2020, September 11). Rumus Deret Aritmatika. Retrieved November 2, 2020, from www.gurupendidikan.co.id: https://www.gurupendidikan.co.id/deret-aritmatika/

Rahmah, A. (2019, November 29). Deret Aritmatika. Retrieved November 2, 2020, from rumus.co.id: https://rumus.co.id/deret-aritmatika/

Vieri's POV

Senin, 02 November 2020