Program Linear

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh 

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya membahas tentang Metode Pembuktian dalam Matematika, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 11 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

Langsung ajaaaaaaa

Program linear adalah suatu metode penentuan nilai optimum dari suatu persoalan linear. Nilai optimum (maksimal atau minimum) diperoleh dari nilai dalam suatu himpunan penyelesaiaan persoalan linear. Di dalam persoalan linear terdapat fungsi linear yang bisa disebut sebagai fungsi objektif. Persyaratan, batasan, dan kendala dalam persoalan linear merupakan sistem pertidaksamaan linear.Lihat juga materi StudioBelajar.com lainnya:

Persamaan Lingkaran

Trigonometri

Model Matematika Program Linear

Persoalan dalam program linear yang masih dinyatakan dalam kalimat-kalimat pernyataan umum, kemudian diubah kedalam model matematika. Model matematika merupakan pernyataan yang menggunakan peubah dan notasi matematika.

Sebagai ilustrasi, produsen sepatu membuat 2 model sepatu menggunakan 2 bahan yang berbeda. Komposisi model pertama terdiri dari 200 gr bahan pertama dan 150 gr bahan kedua. Sedangkan komposisi model kedua terdiri dari 180 gr bahan pertama dan 170 gr bahan kedua. Persediaan di gudang bahan pertama 72 kg dan bahan kedua 64 kg. Harga model pertama adalah Rp. 500.000,00 dan model kedua Rp. 400.000,00. Jika disimpulkan/disederhanakan dalam bentuk tabel menjadi berikut:

Dengan peubah dari jumlah optimal model 1 adalah x dan model 2 adalah y, dan hasil penjualan optimal adalah f(x, y) = 500.000x + 400.000y. Dengan syarat:

• Jumlah maksimal bahan 1 adalah 72.000 gr, maka 200x + 180y ≤ 72.000.
• Jumlah maksimal bahan 2 adalah 64.000 gr, maka 150x + 170y ≤ 64.000
• Masing-masing model harus terbuat.

Model matematika untuk mendapat jumlah penjualan yang maksimum adalah:

Maksimum f(x, y) = 500.000x + 400.000y

Syarat:

• 200x + 180y ≤ 72.000
• 150x + 170y ≤ 64.000
• x ≥ 0
• y ≥ 0

Nilai Optimum Fungsi Objektif

Fungsi objektif merupakan fungsi linear dan batasan-batasan pertidaksamaan linear yang memiliki himpunan penyelesaian. Himpunan penyelesaian yang ada merupakan titik-titik dalam diagram cartesius yang jika koordinatnya disubstitusikan kedalam fungsi linear dapat memenuhi persyaratan yang ditentukan.

Nilai optimum fungsi objektif dari suatu persoalan linear dapat ditentukan dengan metode grafik. Dengan melihat grafik dari fungsi objektif dan batasan-batasannya dapat ditentukan letak titik yang menjadi nilai optimum. Langkah-langkahnya sebagai berikut :

• Menggambar himpunan penyelesaian dari semua batasan syarat yang ada di cartesius.
• Menentukan titik-titik ekstrim yang merupakan perpotongan garis batasan dengan garis batasan yang lainnya. Titik-titik ekstrim tersebut merupakan himpunan penyelesaian dari batasannya dan memiliki kemungkinan besar membuat fungsi menjadi optimum.
• Menyelidiki nilai optimum fungsi objektif dengan dua acara yaitu :
  • Menggunakan garis selidik
  • Membandingkan nilai fungsi objektif tiap titik ekstrim

Menggunakan Garis Selidik

Garis selidik diperoleh dari fungsi objektif f(x, y) = ax + by dimana garis selidiknya adalah

ax + by = Z

Nilai Z diberikan sembarang nilai. Garis ini dibuat setelah grafik himpunan penyelesaian pertidaksamaan dibuat. Garis selidik awal dibuat di area himpunan penyelesaian awal. Kemudian dibuat garis-garis yang sejajar dengan garis selidik awal. Berikut pedoman untuk mempermudah penyelidikian nilai fungsi optimum:

Cara 1 (syarat a > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kiri garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.

Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di kanan garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.

Cara 2 (syarat b > 0)

• Jika maksimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di bawah garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik maksimum.
• Jika minimum, maka dibuat garis yang sejajar garis selidik awal sehingga membuat himpunan penyelesaian berada di atas garis tersebut. Titik yang dilalui garis tersebut adalah titik minimum.
• 

Untuk nilai a < 0 dan b < 0 berlaku kebalikan dari kedua cara yang dijelaskan di atas.

Membandingkan Nilai Fungsi Tiap Titik Ekstrim

Menyelidiki nilai optimum dari fungsi objektif juga dapat dilakukan dengan terlebih dahulu menentukan titik-titik potong dari garis-garis batas yang ada. Titik-titip potong tersebut merupakan nilai ekstrim yang berpotensi memiliki nilai maksimum di salah satu titiknya.

Berdasarkan titik-titik tersebut ditentukan nilai masing-masing fungsinya, kemudian dibandingkan. Nilai terbesar merupakan nilai maksimum dan nilai terkecil merupakan nilai minimum.

Contoh Soal Program Linear dan Pembahasan

Contoh Soal 1

Tentukan nilai minimum f(x, y) = 9x + y pada daerah yang dibatasi oleh 2 ≤ x ≤ 6, dan 0 ≤ y ≤ 8 serta x + y ≤ 7.

Pembahasan 1:

• Langkah 1 menggambar grafiknya

• 

• Langkah 2 menentukan titik ekstrim

Dari gambar, ada 4 titik ekstrim, yaitu: A, B, C, D dan himpunan penyelesaiannya ada di area yang diarsir.

• Langkah 3 menyelidiki nilai optimum

Dari grafik diketahui titik A dan B memiliki y = 0, sehingga kemungkinan menjadi nilai minimum. Kedua titik disubstitusikan kedalam f(x, y) = 9x + y untuk dibandingkan.

Dengan membandingkan, disimpulkan titik A memiliki nilai minimum 18

Contoh Soal 2

Ada seorang pedagang buah naga sedang memanen hasil kebunnya. Dia menyewa 30 kendaraan jenis truk dan colt dengan total muatan sebanyak 300 karung. Setiap truk hanya mampu menampung 15 karung dan colt hanya mampu mengangkut 10 karung. Tentukanlah bentuk model matematikanya.

Pembahasan :

Dalam mengerjakan soal cerita seperti ini, Kita dapat melakukan pemisalan pada truk dan colt. Kita anggap truk sebagai fungsi x dan colt sebagai fungsi y. Selain itu, banyak karung yang di tampung adalah 300 karung dengan masing-masing per truk mampu menampung 15 karung dan colt 10 karung. Sehingga kita bisa menuliskan model matematikanya seperti di bawah ini.

Fungsi banyak karung = 15x + 10y = 300

Fungsi banyak karung = 3x + 2y = 60

Fungsi kuantitas = x + y = 30

Sehingga model matematika soal tersebut adalah F(kuantitas): x + y = 30 dan F(banyak karung): 3x + 2y = 60.

Contoh Soal 3

Lendra sedang berbelanja ke pasar. Dia membeli beberapa buah rambutan dan pepaya. Jumlah yang dibeli paling sedikit 20 buah di mana buah rambutan maksimal sebanyak 12 buah. Harga rambutan per buah adalah 5 ribu dan pepaya adalah 2 ribu. Ia memiliki uang 40 ribu. Jika Lendra membeli a rambutan dan b pepaya, tentukan bentuk model matematikanya

Pembahasan :

Seperti soal sebelumnya, kita melakukan pemisalan untuk pembelian dan jumlah buah di mana rambutan sebagai fungsi x dan pepaya sebagai fungsi y.

Fungsi pembelian: 5000x + 2000y = 40000

Fungsi pembelian: 5x + 2y = 40

Fungsi jumlah buah: x + y ≥ 20

Fungsi maksimal rambutan: x ≤ 12

Ini bentuk model matematika untuk semua informasi dalam soal tersebut.

Contoh Soal 4

Punto merupakan seorang pedagang memiliki modal Rp. 1.000.000 untuk membeli anggur dan ketan beras. Harga beli tiap kg anggur adalah Rp. 4000 dan ketan besar adalah Rp. 1600. Gudang Punto hanya bisa menampung 400 kg. Tentukan jumlah anggur dan ketan beras maksimum.

Pembahasan :

Seperti soal-soal sebelumnya, kita dapat melakukan pemisalan pada soal tersebut di mana anggur sebagai fungsi x dan ketan besar sebagai fungsi y. Maka, kita bisa menulis bentuk pertidaksamaannya sebagai berikut.

Fungsi kapasitas: x + y ≤ 400

Fungsi modal: 4000x + 1600y ≤ 1.000.000 disederhanakan menjadi 5x + 2y ≤ 1250

x ≤ 0 ; y ≤ 0

Dari persamaan tersebut, kita dapat membentuk sebuah diagram sesuai dengan nilai maksimum pada tiap persamaan. Kita bisa memasukkan nilai 0 dan 400 dalam tiap persamaan sehingga bisa diketahui titik ekstremnya.

• Titik 1 (0,400) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi anggur
• Titik 3 (400,0) merupakan titik ekstrem namun tidak terdapat fungsi beras ketan
• Titik 2 ( x_b, y_b ) menggunakan eliminasi kedua fungsi di atas.

5x + 2y ≤ 1250

x + y ≤ 400 |x2   –

5x + 2y ≤ 1250

2x + 2y ≤ 800    –

3x ≤ 450

Sehingga nilai x adalah 150. Total anggur dan beras ketan adalah 400, sedangkan jumlah angggur adalah 150, maka jumlah beras ketan adalah 250.

Contoh Soal 5

Biaya produksi satu buah payung jenis A adalah Rp20.000,00 per buah, sedangkan biaya satu buah produksi payung jenis B adalah Rp30.000,00. Seorang pengusaha akan membuat payung A dengan jumlah tidak kurang dari 40 buah. Sedangkan banyaknya payung jenis B yang akan diproduksi minimal adalah dari 50 buah. Jumlah maksimal produksi kedua payung tersebut adalah 100 buah. Biaya minimum yang dikeluarkan untuk melakukan produksi kedua payung sesuai ketentuan tersebut adalah ….

A.     Rp2.000.000,00
B.     Rp2.300.000,00
C.     Rp2.200.000,00
D.     Rp2.100.000,00
E.     Rp2.000.000,00

Pembahasan :

Pemisalan:

• x = banyak payung A
• y = banyak payung B

Model matematika dari permasalahan tersebut adalah:

Fungsi tujuan: meminimumkan f(x,y) = 20.000x + 30.000y

Fungsi kendala:

• x ≥ 40
• y ≥ 50
• x + y ≤ 100

Daerah penyelesaian yang memenuhi permasalahan:

Nilai minimum akan diperoleh melalui titik koordinat yang dilalui garis selidik yang pertama kali, yaitu titik A(40, 50).

Sehingga, biaya produksi minimum adalah

f(40,50) = 20.000(40) + 30.000(50)
f(40,50) = 800.000 + 1.500.000
f(40,50) = 2.300.000

Jawaban: B

DAFTAR PUSTAKA

Admin. (2017, November 28). Contoh Soal dan Pembahasan Program Linear Matematika SMA. Retrieved Agustus 3, 2020, from idschool.net: https://idschool.net/sma/contoh-soal-dan-pembahasan-program-linear-matematika-sma/

Agustian. (2020, April 6). Program Linear. Retrieved Agustus 3, 2020, from rumuspintar.com: https://rumuspintar.com/program-linear/

Alwin Mulyanto, S. (n.d.). Program Linear. Retrieved Agustus 3, 2020, from www.studiobelajar.com: https://www.studiobelajar.com/program-linear/

Metode Pembuktian dalam Matematika

Assalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh 

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

Sebelum saya membahas tentang Metode Pembuktian dalam Matematika, Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon murid kelas 11 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. Dan saya suka perubahan. Cukup tentang saya bisa follow instagram saya jika anda mau tentunya @paisalts_.

Ada 3 Poin yang akan kita bahas hari ini, antara lain:

1. Pembuktian Langsung
2. Pembuktian Tidak Langsung
3. Induksi
   

Langsung ajaaaa

Pembuktian Langsung

Pembuktian langsung adalah metode pembuktian yang menggunakan alur maju. Mulai dari pendefinisian sampai menghasilkan kesimpulan. Gampangnya sih, “kalau A maka B dan kalau B maka C” hehe. Nah, untuk menggunakan alur maju, maka pernyataan-pernyataan sebelumnya harus benar. Contohnya adalah

• Jumlah dari dua bilangan genap adalah bilangan genap
• Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GENAP jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k. Contoh "6 adalah genap, sebab terdapat 3 sehingga 6 = 2(3)" "-4 adalah genap, sebab terdapat (-2) sehingga -4 = 2(3)"
• Definisi Suatu bilangan bulat n disebut bilangan GANJIL jika terdapat suatu bilangan bulat k, sehingga n = 2k + 1. Contoh 3 adalah ganjil, sebab terdapat 1 sehingga 3 = 2(1) + 1" "-3 adalah ganjil, sebab terdapat (-2) sehingga -3 = 2(-2) + 1"

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Jika diketahui n adalah ganjil, maka buktikan bahwa n 2 adalah ganjil.

Jawab :

Diketahui n adalah ganjil, artinya terdapat suatu bilangan bulat k sehingga n = 2k + 1.

Akan ditunjukkan bahwa n 2 ganjil.

n 2 = (2k + 1)2

= 4k 2 + 4k + 1

= 2(2k 2 + 2k) +1.

Perhatikan bahwa n 2 = 2(2k 2 + 2k) +1.

Karena k adalah bilangan bulat, maka (2k 2 + 2k) juga pasti bilangan bulat, sehingga n^2 adalah ganjil.

Contoh Soal 2

Jika diketahui m, n adalah kuadrat sempurna, maka buktikan bahwa mn adalah juga kuadrat sempurna.

Jawab :

Misalkan m, n adalah kuadrat sempurna, artinya

m   = k 2 , n = p 2 , untuk suatu k, p suatu bilangan bulat.

mn = (k2 )(p2 )

      = (kp)2

Karena k, p

Pembuktian Tidak Langsung 

Pembuktian tidak langsung atau pembuktian dengan kemustahilan (reductio ad absurdum) yang dibahas ada 2 cara yaitu :

(1) Kontraposisi

Pembuktian tidak langsung kontraposisi digunakan untuk membuktikan pernyataan implikasi. Untuk membuktikan pernyataan implikasi kita cukup membuktikan kontraposisi dari implikasi pernyataan tersebut

Secara simbolik : p → q ≡ ~q → ~p  

Untuk membuktikan kebenaran p → q, maka kita cukup membuktikan kebenaran ~q → ~p

*Mudahnya, Kontraposisi adalah Pembalikan susunan dari invers itu sendiri. Misalnya : Pernyataan ~q=>~p, maka ini disebut Kontraposisi dari p=>q.

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Buktikan bahwa: “jika n² bilangan ganjil, maka n bilangan ganjil”.

Bukti : Untuk membuktikan pernyataan tersebut kita akan membuktikan kebenaran kontraposisinya

Misalnya : p = n² bilangan ganjil dan q = n bilangan ganjil

Apakah p → q benar ? Kita akan periksa apakah ~q → ~p benar ?

Andaikan n bukan bilangan ganjil, maka n bilangan genap, sehingga n dinyatakan dengan sebagai n = 2k, k bilangan asli.

Akibatnya n² = (2k)² = 4k² = 2(2k²).

Artinya n²  bilangan genap.

Jadi pengandaian bahwa n bukan bilangan ganjil adalah BENAR,

sehingga kontraposisi ~q →~p juga BENAR.

Jadi implikasi p → q benar , ini berarti n² bilanganganjil maka n adalah bilangan ganjil.

(2) Kontradiksi

Pembuktian tidak langsung dengan kontradiksi dilakukan dengan mengandaikan konklusi yang salah dan menemukan suatu hal yang bertentangan dengan fakta, aksioma, atau teorema yang ada. Pengandaian konklusi salah tidak bisa diterima dan akibatnya konklusi yang ada benar berdasarkan premis yang ada

Contoh Soal :

Contoh Soal 1 :

Buktikan bahwa : “Untuk semua bilangan bulat n, jika n² ganjil, maka n ganjil”.

Bukti : Andaikan bahwa q salah, atau ~q benar yaitu n bukan bilangan bulat ganjil, maka n bilangan bulat genap.

Dapat dimisalkan n = 2k dengan k bilangan bulat.

Dengan demikian maka n² = (2k)² atau n² = 4k²

Ini menunjukkan bahwa  n² = bilangan bulat genap (~p)

Terjadilah suatu kontradiksi : yang diketahui p benar, sedangkan dari langkah-langkah logis diturunkan ~p benar.

Oleh karena itu kontradiksi tidak boleh terjadi, maka pengandaian harus diingkar yang berarti ~q salah atau q benar.

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Tunjukkan setidaknya ada 4 hari yang sama dari 22 hari.

Jawab :

Misal p = “setidaknya 4 dari 22 hari adalah hari yang sama”

Andaikan –p bernilai benar, artinya paling banyak hanya ada 3 hari yang sama dari 22 hari.

Ada 7 hari dalam sepekan, itu artinya paling banyak 21 hari bisa dipilih karena untuk setiap hari dalam sepekan, paling banyak tiga hari yang dipilih bisa jatuh pada hari itu.

Ini kontradiksi dengan kenyataan bahwa kita memiliki 22 hari.

Artinya jika r = “22 hari yang dipilih”, maka telah ditunjukkan bahwa –p  (r  -r).

Artinya p bernilai benar.

Induksi Matematika

Induksi matematika menjadi sebuah metode pembuktian secara deduktif yang digunakan untuk membuktikan suatu pernyataan benar atau salah. Dimana merupakan suatu proses atau aktivitas berpikir untuk menarik kesimpulan berdasarkan pada kebenaran pernyataan yang berlaku secara umum sehingga pada pernyataan khusus atau tertentu juga bisa berlaku benar.

Ada tiga langkah dalam induksi matematika yang diperlukan untuk membuktikan suatu rumus atau pernyataan. Langkah-langkah tersebut adalah :

1. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = 1.
2. Mengasumsikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k.
3. Membuktikan bahwa rumus atau pernyataan tersebut benar untuk n = k + 1.

Untuk menerapkan induksi matematika, kita harus bisa menyatakan pernyataan P (k + 1) ke dalam pernyataan P(k) yang diberikan. Untuk meyatakan persamaan P (k + 1), substitusikan kuantitas k + 1  kedalam pernyataan P(k).

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

Buktikan 2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1), untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  2 + 4 + 6 + ... + 2n = n(n + 1)
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
2 = 1(1 + 1)
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar yaitu
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1),    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = (k + 1)(k + 1 + 1)

Dari asumsi :
2 + 4 + 6 + ... + 2k = k(k + 1)
Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :
2 + 4 + 6 + ... + 2k + 2(k + 1) = k(k + 1) + 2(k + 1)
                                                = (k + 1)(k + 2)
                                                = (k + 1)(k + 1 + 1)
Jadi, P(k + 1) benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh Soal 2

Buktikan 1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n² benar, untuk setiap n bilangan asli

Jawab :
P(n) :  1 + 3 + 5 + ... + (2n − 1) = n²
Akan ditunjukkan P(n) benar untuk setiap n ∈ N

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
1 = 1²
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k²,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = (k + 1)²

Dari asumsi :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) = k²
Tambahkan kedua ruas dengan u_k+1 :
1 + 3 + 5 + ... + (2k − 1) + (2(k + 1) − 1) = k² + (2(k + 1) − 1)
                                                                  = k² + 2k + 1
                                                                  = (k + 1)²
Jadi, P(k + 1) juga benar

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa P(n) benar untuk setiap n bilangan asli.

Contoh Soal 3
Buktikan 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.

Jawab :
P(n) :  6ⁿ + 4 habis dibagi 5
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ N.

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
6¹ + 4 = 10 habis dibagi 5
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
6^k + 4 habis dibagi 5,    k ∈ N

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
6^k+1 + 4 habis dibagi 5.

6^k+1 + 4 = 6(6^k)+ 4
              = 5(6^k) + 6^k + 4

Karena 5(6^k) habis dibagi 5 dan 6^k + 4 habis dibagi 5, akibatnya 5(6^k) + 6^k + 4 juga habis dibagi 5.
Jadi, P(k + 1) benar.

Berdasarkan prinsip induksi matematika, terbukti bahwa 6ⁿ + 4 habis dibagi 5, untuk setiap n bilangan asli.


Bilangan bulat a habis dibagi bilangan bulat b jika terdapat bilangan bulat m sehingga berlaku a = bm.
Sebagai contoh, "10 habis dibagi 5" benar karena terdapat bilangan bulat m = 2 sehingga 10 = 5.2. Jadi, pernyataan "10 habis dibagi 5" dapat kita tulis menjadi "10 = 5m, untuk m bilangan bulat"

Contoh Soal 4

Buktikan n³ + 2n habis dibagi 3, untuk setiap n bilangan asli

Jawab :
P(n) :  n³ + 2n = 3m, dengan m ∈ $Z$
Akan dibuktikan P(n) benar untuk setiap n ∈ $N$

Langkah Dasar :
Akan ditunjukkan P(1) benar
1³ + 2.1 = 3 = 3.1
Jadi, P(1) benar

Langkah Induksi :
Asumsikan P(k) benar, yaitu
k³ + 2k = 3m,    k ∈ $N$

Akan ditunjukkan P(k + 1) juga benar, yaitu
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p,     p ∈ $Z$

(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 3k² + 3k + 1) + (2k + 2)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = (k³ + 2k) + (3k² + 3k + 3)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3m + 3(k² + k + 1)
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3(m + k² + k + 1)

Karena m bilangan bulat dan k bilangan asli, maka (m + k² + k + 1) adalah bilangan bulat.
Misalkan p = (m + k² + k + 1), maka
(k + 1)³ + 2(k + 1) = 3p, dengan p ∈ $Z$
Jadi, P(k + 1) benar

DAFTAR PUSTAKA

Alwin Mulyanto, S. (2020). Induksi Matematika. Retrieved Juli 27, 2020, from www.studiobelajar.com: https://www.studiobelajar.com/induksi-matematika/

Maker, Z. (2017, Juli 15). Induksi Matematika. Retrieved Juli 27, 2020, from smatika.blogspot.com: https://smatika.blogspot.com/2017/07/induksi-matematika.html

Melkianusbenusu. (2016, Oktober 10). Apa Itu Kontraposisi. Retrieved Juli 27, 2020, from melkianusbenusu.wordpress.com: https://melkianusbenusu.wordpress.com/2016/10/10/apa-itu-kontraposisi/

Pratama, R. P. (2019, Januari 3). Matematika Kelas 11 | 4 Metode Pembuktian Matematika. Retrieved July 27, 2020, from blog.ruangguru.com: https://blog.ruangguru.com/matematika-kelas-11-pembuktian-matematika

Unknown. (2017, Juli 9). Logika Matematika Metode Pembuktian. Retrieved Juli 27, 2020, from atikazfblog.blogspot.com: http://atikazfblog.blogspot.com/2017/07/logika-matematika-metode-pembuktian.html?m=1

Wr, O. (n.d.). Logika Pembuktian. Retrieved Juli 27, 2020, from gunadarma.ac.id: http://onggo.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/45225/4%2C5+Logika+Pembuktian+%28ppt%29+-+Onggo+Wiryawan.pdf