Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) XI IPS 2
Source : GNFI
PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA
A. KEMONOTONAN
Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik atau monoton turun pada interval tertentu. Kemonotonan suatu fungsi pada interval tertentu dapat diketahui berdasarkan turunannya. Suatu fungsi monoton naik jika turunan fungsi pada interval tersebut lebih besar dari 0.
Definisi Monoton
Suatu fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika
Suatu fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika
untuk semua x1<x2 berlaku f(x1) > f(x1)
B. INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN
Fungsi Naik dan Turun
Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.
Definisi Fungsi Naik dan Turun
Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) < f(x2).
Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x1 dan x2 dalam selang tersebut, x1 < x2 mengakibatkan f(x1) > f(x2).
Suatu fungsi dikatakan naik jika x
bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun
jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di
samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b,
∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah
ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan
negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada
seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang
tersebut.
Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).
- Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
- Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
- Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].
Pembuktian
Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan
Karena f ’(c) > 0 dan x2 – x1 > 0, maka f(x2) – f(x1) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x1) < f(x2). Jadi, f naik pada selang tersebut.
Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.
Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x1 < x2 adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x1 < c < x2, dan
Karena f ’(c) = 0 maka f(x1) – f(x2) = 0, yang berakibat f(x1) = f(x2). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.
C. KECEKUNGAN
Kecekungan
Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.
Definisi Kecekungan
Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.
Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.
- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
- Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).
Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik
akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena
turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.
Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.
Teorema Uji Kecekungan
Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.
- Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
- Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.
Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.
Contoh 1: Menentukan Kecekungan
Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik
cekung ke atas atau cekung ke bawah.
Pembahasan Jelas bahwa fungsi yang diberikan kontinu pada seluruh garis bilangan real. Selanjutnya, kita tentukan turunan kedua fungsi f.
Karena f ”(x) = 0 ketika x = ±1 dan f ” terdefinisi pada keseluruhan garis bilangan real, kita harus menguji f ” dalam selang (–∞, –1), (–1, 1), dan (1, ∞). Hasil pengujian ketiga selang tersebut dirangkum dalam tabel berikut.
| Selang | –∞ < x < –1 | –1 < x < 1 | 1 < x < ∞ |
| Nilai Uji | x = –2 | x = 0 | x = 0 |
| Tanda f ”(x) | f ”( –2) > 0 | f ”(0) < 0 | f ”(2) > 0 |
| Kesimpulan | Cekung ke atas | Cekung ke bawah | Cekung ke atas |
Grafik fungsi f dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
Fungsi yang diberikan dalam Contoh 1 kontinu pada keseluruhan garis bilangan real. Jika ada nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi tidak kontinu, nilai-nilai tersebut harus digunakan bersama dengan titik-titik yang menyebabkan f ”(x) = 0 atau f ”(x) tidak ada, untuk membentuk selang-selang uji.
Contoh 2: Menentukan Kecekungan
Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik
cekung ke atas atau cekung ke bawah.
Pembahasan Dengan menurunkan fungsi yang diberikan dua kali, dihasilkan
Berdasarkan turunan kedua f tersebut, kita dapat melihat bahwa tidak ada nilai x yang menyebabkan f ”(x) = 0, tetapi pada x = ±2, fungsi f tidak kontinu. Jadi, kita harus menguji kecekungan pada selang-selang (–∞,–2), (–2, 2), dan (2, ∞), seperti yang ditunjukkan tabel berikut.
| Selang | –∞ < x < –2 | –2 < x < 2 | 2 < x < ∞ |
| Nilai Uji | x = –3 | x = 0 | x = 3 |
| Tanda f ”(x) | f ”( –3) > 0 | f ”(0) < 0 | f ”(3) > 0 |
| Kesimpulan | Cekung ke atas | Cekung ke bawah | Cekung ke atas |
Grafik fungsi f ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
Titik Belok
Grafik fungsi pada Contoh 1 memiliki dua titik di mana kecekungan grafik tersebut berubah. Jika grafik suatu fungsi memiliki garis singgung pada titik yang seperti itu, maka titik tersebut dinamakan titik belok. Tiga jenis titik belok dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
Definisi Titik Belok
Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang buka, dan c adalah titik pada selang tersebut. Jika grafik f memiliki garis singgung pada titik (c, f(c)), maka titik ini merupakan titik belok grafik f ketika kecekungan f berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah (atau sebaliknya) pada titik tersebut.
Untuk menentukan letak titik belok, kita tentukan nilai x yang membuat f ”(x) = 0 atau f ”(x) tidak ada. Hal ini serupa dengan prosedur dalam menentukan letak titik ekstrim lokal f.
Teorema Titik Belok
Jika (c, f(c)) merupakan titik belok grafik f, maka f ”(c) = 0 atau f ” tidak ada pada x = c.
Contoh 3: Menemukan Titik Belok
Tentukan titik-titik belok grafik,
dan tentukan kecekungan grafik fungsi tersebut.
Pembahasan Untuk menentukan titik-titik belok grafik fungsi yang diberikan, pertama kita tentukan turunan kedua fungsi tersebut.
Dengan membuat f ”(x) = 0, kita dapat menentukan bahwa kemungkinan titik-titik beloknya terjadi pada x = 0 dan x = 2. Dengan menguji selang yang ditentukan oleh nilai-nilai x tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa kedua titik tersebut merupakan titik-titik belok grafik f. Perhatikan tabel berikut.
| Selang | –∞ < x < 0 | 0 < x < 2 | 2 < x < ∞ |
| Nilai Uji | x = –1 | x = 1 | x = 3 |
| Tanda f ”(x) | f ”( –1) > 0 | f ”(1) < 0 | f ”(3) > 0 |
| Kesimpulan | Cekung ke atas | Cekung ke bawah | Cekung ke atas |
Jadi, grafik fungsi f memiliki titik belok pada (0, 0) dan (2, –16). Grafik fungsi f dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.
Konvers Teorema Titik Belok tidak sepenuhnya benar, karena terdapat kemungkinan bahwa turunan kedua suatu fungsi pada titik tertentu sama dengan nol tetapi titik tersebut bukanlah titik belok. Misalnya, grafik f(x) = x4 seperti yang ditunjukkan gambar di bawah. Turunan kedua fungsi tersebut sama dengan nol ketika x = 0, tetapi titik (0, 0) bukanlah titik belok karena grafik f cekung ke atas pada selang (–∞, 0) dan (0, ∞).
D. UJI TURUNAN KEDUA
Uji Turunan Kedua
Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.
Teorema Uji Turunan Kedua
Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’(c) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c.
- Jika f ”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
- Jika f ”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).
Jika f ”(c) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, kita harus menggunakan Uji Turunan Pertama.
Pembuktian Jika f ’(c) = 0 dan f ”(c) > 0, maka ada selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga
untuk semua x ≠ c dalam I. Jika x < c, maka f ’(x) < 0. Demikian juga, jika x > c, maka x – c > 0 dan f ’(x) > 0. Jadi, f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c, dan berdasarkan Uji Turunan Pertama, f(c) merupakan minimum lokal f. Pembuktian kasus kedua serupa dengan pembuktian kasus pertama tersebut.
Contoh 4: Menggunakan Uji Turunan Kedua
Tentukan ekstrim lokal
Pembahasan Pertama kita tentukan turunan pertama fungsi tersebut.
Berdasarkan turunan ini, kita dapat melihat bahwa hanya x = –1, 0, dan 1 yang menjadi nilai kritis f. Dengan menemukan turunan keduanya
kita dapat menerapkan Uji Turunan Kedua seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.
| Titik | (–1, –2) | (0, 0) | (1, 2) |
| Tanda f ”(x) | f ”( –1) > 0 | f ”(0) = 0 | f ”(1) < 0 |
| Kesimpulan | Minimum lokal | Uji gagal | Maksimum lokal |
Karena Uji Turunan Kedua gagal pada (0, 0), kita dapat menggunakan Uji Turunan Pertama dan melihat bahwa f naik dari kiri ke kanan x = 0. Sehingga, (0, 0) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal. Grafik f tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.
Terima kasih kepada Ibu DR Lizza Novrida, semoga apa yang pelajari
hari memberikan manfaat dikemudian hari
dan diberkati tuhan yang maha esa.
Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam
DAFTAR PUSTAKA
Admin. (2019, April 29). Kemonotonan Fungsi . Retrieved from www.rahmateduc.com: https://www.rahmateduc.com/2019/04/kemonotonan-fungsi_24.html?m=1
Iqbalzazuli. (2016, April 25). Penerapan Turunan: Kecekungan dan Uji Turunan Kedua. Retrieved from iqbalzazuli.wordpress.com: https://iqbalzazuli.wordpress.com/2016/04/25/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/
Kristanto, Y. D. (2015, Maret 24). Penerapan Turunan: Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama. Retrieved from yos3prens.wordpress.com: https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-fungsi-naik-dan-turun-serta-uji-turunan-pertama/
Tidak ada komentar:
Posting Komentar