SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) XI IPS 2

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

ﺇِﻥَّ ﺍﻟْﺤَﻤْﺪَ ﻟِﻠَّﻪِ ﻧَﺤْﻤَﺪُﻩُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻌِﻴْﻨُﻪُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻐْﻔِﺮُﻩْ ﻭَﻧَﻌُﻮﺫُ ﺑِﺎﻟﻠﻪِ ﻣِﻦْ ﺷُﺮُﻭْﺭِ ﺃَﻧْﻔُﺴِﻨَﺎ ﻭَﻣِﻦْ ﺳَﻴِّﺌَﺎﺕِ ﺃَﻋْﻤَﺎﻟِﻨَﺎ، ﻣَﻦْ ﻳَﻬْﺪِﻩِ ﺍﻟﻠﻪُ ﻓَﻼَ ﻣُﻀِﻞَّ ﻟَﻪُ ﻭَﻣَﻦْ ﻳُﻀْﻠِﻞْ ﻓَﻼَ ﻫَﺎﺩِﻱَ ﻟَﻪُ. ﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻻَ ﺇِﻟَﻪَ ﺇِﻻَّ ﺍﻟﻠﻪ ﻭَﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻣُﺤَﻤَّﺪًﺍ ﻋَﺒْﺪُﻩُ ﻭَﺭَﺳُﻮْﻟُﻪُ.

Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) murid kelas XI IPS 2 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. 

 

Daerah Istimewa Yogyakarta

Source : Google.com

SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

 

Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar dibawah ini. Agar luasnya maksimum panjang kerangka (p) tersebut adalah...

A. 16 m

B.  18 m

C.  20 m

D.  22 m

E.  24 m

Pembahasan :
Persamaan kerangka :
3p + 4l = 120
4l = 120 − 3p
l = 30 − $\frac{3}{4}$

p

Persamaan luas :
L = p × 2l
L = p × 2 (30 − $\frac{3}{4}$p)

L = 60p − $\frac{3}{2}$

p²

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
60 − 3p = 0
⇒ p = 20

Jadi, panjang kerangka agar luas maksimum adalah 20 m.

Jawaban : C

Contoh Soal 2

Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam $\left(4x-800+\frac{120}{x}\right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu...
A.  40 jam
B.  60 jam
C.  100 jam
D.  120 jam
E.  150 jam

Pembahasan :
Biaya per jam : 4x − 800 + $\frac{120}{x}$
Biaya untuk x jam :
B(x) = (4x − 800 + $\frac{120}{x}$)x
B(x) = 4x² − 800x + 120

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 800 = 0
⇒ x = 100

Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam.

Jawaban : C
 

Contoh Soal 3

Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume maksimum berturut-turut adalah...
A.  10 dm, 7 dm, 1 dm
B.  8 dm , 5 dm, 1 dm
C.  7 dm, 4 dm, 2 dm
D.  7 dm, 4 dm, 1 dm
E.  6 dm, 3 dm, 1 dm

Pembahasan :

Ukuran balok :

p = 8 − 2x
l = 5 − 2x
t = x

V = plt
V = (8 − 2x)(5 − 2x) x
V = (40 − 26x + 4x²) x
V = 4x³ − 26x² + 40x

Volume akan maksimum jika :
V' = 0
12x² − 52x + 40 = 0
3x² − 13x + 10 = 0
(3x − 10)(x − 1) = 0
x = $\frac{10}{3}$ atau x = 1

Untuk x = 1, maka
p = 8 − 2x = 8 − 2(1) = 6
l = 5 − 2x = 5 − 2(1) = 3
t = x = 1

Jadi, volume akan maksimum jika panjang, lebar dan tinggi balok berturut-turut 6 dm, 3 dm, 1 dm.

Jawaban : E

Contoh Soal 4

Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar $\left(9.000+1.000x+10x^2\right)$ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut adalah...
A.  Rp149.000,00
B.  Rp249.000,00
C.  Rp391.000,00
D.  Rp609.000,00
E.  Rp757.000,00

Pembahasan ;
Biaya produksi x produk : 9.000 + 1.000x + 10x²
Biaya penjualan x produk : 5.000x

Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi
L(x) = 5.000x − (9.000 + 1.000x + 10x²)
L(x) = 5.000x − 9.000 − 1.000x − 10x²
L(x) = −10x² + 4.000x − 9.000

Laba akan maksimum, jika :
L'(x) = 0
−20x + 4.000 = 0
⇒ x = 200

Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan laba maksimumnya adalah :
L(200) = −10(200)² + 4.000(200) − 9.000
L(200) = −400.000 + 800.000 − 9.000
L(200) = 391.000

Jawaban : C

Contoh Soal 5

Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya $\left(5x^2-10x+30\right)$ dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah...
A.  Rp10.000,00
B.  Rp20.000,00
C.  Rp30.000,00
D.  Rp40.000,00
E.  Rp50.000,00

Pembahasan :
Biaya produksi x unit : (5x² − 10x + 30)x
Biaya penjualan x unit : 50x
(kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah)

Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi
U(x) = 50x − (5x² − 10x + 30)x
U(x) = 50x − 5x³ + 10x² − 30x
U(x) = −5x³ + 10x² + 20x

Keuntungan akan maksimum jika :
U'(x) = 0
−15x² + 20x + 20 = 0 (bagi −5)
3x² − 4x − 4 = 0
(3x + 2)(x − 2) = 0
x = $\frac{3}{2}$ atau x = 2

Jadi, keuntungan akan maksimum jika perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya adalah :
U(2) = −5(2)³ + 10(2)² + 20(2)

U(2) = −40 + 40 + 40

U(2) = 40  (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : D

Contoh Soal 6

Untuk memproduksi $x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$

A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan

Misalkan keuntungan ($U$

) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga
$\begin{array}{cc}U\left(x\right)& =x(20-x)-(x^2+4x+10)\\ & =20x-x^2-x^2-4x+10\\ & =-2x^2+16x-10\end{array}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{U}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+16& =0\\ 4x& =16\\ x& =4\end{array}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi 4 unit pakaian, yaitu
$\begin{array}{cc}U\left(4\right)& =-2(4{)}^2+16(4)-10\\ & =-32+64-10=22\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

Contoh Soal 7

Dari kawat yang panjangnya $500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$ meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 
A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$
B. $15$ dan $85$                E. $50$ dan $50$
C. $25$ dan $75$

Pembahasan

Misalkan $p=25\text{meter}$

Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}k& =500\\ 4(p+l+t)& =500\\ 25+l+t& =125\\ l+t& =100\\ l& =100-t\end{array}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{array}{cc}V\left(t\right)& =p\times l\times t\\ & =25\times (100-t)\times t\\ & =2.500t-25t^2\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(t\right)& =0\\ 2.500-50t& =0\\ 50t& =2.500\\ t& =50\end{array}$
Untuk $t=50$, maka $l=100-50=50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

 

Contoh Soal 8

Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$

           

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$

Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$
(Jawaban C)

Contoh Soal 9

Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling $\left(2x+24\right)$ m dan lebar $\left(8-x\right)$. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah...
A.  4 m
B.  8 m
C.  10 m
D.  12 m
E.  13 m

Pembahasan :
K = 2x + 24 = 2(x + 12)
l = 8 − x

K = 2(p + l)
2(x + 12) = 2(p + 8 − x)
x + 12 = p + 8 − x
p = 2x + 4

L = p . l
L = (2x + 4)(8 − x)
L = −2x² + 12x + 32

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
−4x + 12 = 0
⇒ x = 3

p = 2x + 4
p = 2(3) + 4
p = 10

Jadi, panjang taman agar luas maksimum adalah 10 m.

Jawaban : C

Contoh Soal 10

Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah...
A.  320
B.  295
C.  280
D.  260
E.  200

Pembahasan :
2m − n = 40
n = 2m − 40

p = m² + n²
p = m² + (2m − 40)²
p = m² + 4m² − 160m + 1600
p = 5m² − 160m + 1600

p akan minimum jika :
p' = 0
10m − 160 = 0
⇒ m = 16

n = 2m − 40
n = 2(16) − 40
⇒ n = −8

p = m² + n²
p = 16² + (−8)²
p = 320

Jawaban : A

Contoh Soal 11

Icha akan meniup balon karet  berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm²/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah...
A.  $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$ cm
B.  $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ cm
C.  $\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm
D.  $\frac{2}{3\sqrt{\pi }}$ cm
E.  $\pi$ cm

Pembahasan :
Laju pertambahan volume udara :
$\frac{dV}{dt}$ = 40

Laju pertambahan jari-jari bola :
$\frac{dr}{dt}$ = 20

Volume bola :
V = $\frac{4}{3}$πr³
$\frac{dV}{dr}$ = 4πr²

Dengan aturan rantai :
$\frac{dV}{dt}$ = $\frac{dV}{dr}$ × $\frac{dr}{dt}$
40 = 4πr² × 20
1 = 2πr²

r² = $\frac{1}{2\pi }$

r = $\sqrt{\frac{1}{2\pi }}$
r = $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Jawaban : B

Contoh Soal 12

Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?
A.  80.000 m²
B.  40.000 m²
C.  20.000 m²
D.  5.000 m²
E.  2.000 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang area tanah p dan lebar l
Area tanah yang akan dibatasi pagar adalah (p + 2l)

Perhatikan bentuk pagar, karena kawat yang digunakan 4 baris maka
4(p + 2l) = 800
p + 2l = 200
p = 200 − 2l

L = p × l
L = (200 − 2l) × l
L = 200l − 2l²

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
200 − 4l = 0
⇒ l = 50

p = 200 − 2l
p = 200 − 2(50)
⇒ p = 100

L = p × l
L = 100 × 50
L = 5000

Jadi luas maksimum adalah 5000 m²

Jawaban : D

Contoh Soal 13

Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat). Luas maksimum kandang adalah ...
A.  360 m²
B.  400 m²
C.  420 m²
D.  450 m²
E.  480 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l.

Persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang :
p + 4l = 80   →  p = 80 - 4l

Persamaan luas kandang :
L = pl   
L = (80 - 4l)l   
L = 80l - 4l²

Turunan pertama L terhadap l :
L' = 80 - 8l

Luas akan maksimum jika L' = 0
80 - 8l = 0
80 = 8l
l = 10

Jadi, luas akan maksimum jika l = 10, dengan luas maksimumnya adalah
L = 80(10) - 4(10)²
L = 800 - 400
L = 400

Jawaban : B

Contoh Soal 14

Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis dapat memuat air sebanyak 27π cm². Luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan ...
A.  9 cm
B.  8 cm
C.  6 cm
D.  4 cm
E.  3 cm

Pembahasan :
Persamaan volume tabung :
V = πr² t
27π = πr² t
27 = r² t
t = $\frac{27}{r^2}$

Persamaan luas tabung tanpa tutup :

L = πr² + 2πrt

L = πr² + 2πr($\frac{27}{r^2}$)
L = πr² + $\frac{54\pi }{r}$

Turunan pertama L terhadap r :
L' = 2πr - $\frac{54\pi }{r^2}$ 

Luas akan minimum jika L' = 0
2πr - $\frac{54\pi }{r^2}$ = 0  (kali r²)
2πr³ - 54π = 0
2πr³ = 54π
r³ = 27
⇒  r = 3

Jawaban : E

Contoh Soal 15

Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm², volume maksimum akuarium tersebut adalah ...
A.  3.600 cm³
B.  5.400 cm³
C.  6.300 cm³
D.  7.200 cm³
E.  8.100 cm³

Pembahasan :
$\frac{p}{l}$ = $\frac{2}{3}$→   p = $\frac{2}{3}$l

Persamaan luas akuarium tanpa tutup :
pl + 2pt + 2lt = 1.800
($\frac{2}{3}$l)l + 2($\frac{2}{3}$l)t + 2lt = 1.800  (kali 3)
2l² + 4lt + 6lt = 5400
2l² + 10lt = 5400
10lt = 5400 - 2l²
t = $\frac{540}{l}$ - $\frac{1}{5}$l

Persamaan volume akuarium :
V = plt
V = $\frac{2}{3}$l . l . ($\frac{540}{l}$ - $\frac{1}{5}$l)
V = 360l - $\frac{2}{15}$l³

Turunan pertama V terhadap l :
V' = 360 - $\frac{6}{15}$l²

Volume akan maksimum jika V' = 0
360 - $\frac{6}{15}$l² = 0
360 = $\frac{6}{15}$l²
l² = 900
l = 30

Jadi, volume maksimum aquarium adalah
V = 360(30) - $\frac{2}{15}$(30)³
V = 10.800 - 3.600
V = 7.200

Jawaban : D

 

Terima kasih kepada Ibu DR Lizza Novrida, semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkati tuhan yang maha esa.
Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

DAFTAR PUSTAKA

Maker, Z. (2016, Oktober 2016). Pembahasan Soal UN Aplikasi Turunan. Retrieved from smatika.blogspot.com: https://smatika.blogspot.com/2016/10/pembahasan-soal-ujian-nasional-aplikasi.html

S.Pd, S. (2019, Maret 5). Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial). Retrieved from mathcyber1997.com: https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/