SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) XI IPS 2

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

ﺇِﻥَّ ﺍﻟْﺤَﻤْﺪَ ﻟِﻠَّﻪِ ﻧَﺤْﻤَﺪُﻩُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻌِﻴْﻨُﻪُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻐْﻔِﺮُﻩْ ﻭَﻧَﻌُﻮﺫُ ﺑِﺎﻟﻠﻪِ ﻣِﻦْ ﺷُﺮُﻭْﺭِ ﺃَﻧْﻔُﺴِﻨَﺎ ﻭَﻣِﻦْ ﺳَﻴِّﺌَﺎﺕِ ﺃَﻋْﻤَﺎﻟِﻨَﺎ، ﻣَﻦْ ﻳَﻬْﺪِﻩِ ﺍﻟﻠﻪُ ﻓَﻼَ ﻣُﻀِﻞَّ ﻟَﻪُ ﻭَﻣَﻦْ ﻳُﻀْﻠِﻞْ ﻓَﻼَ ﻫَﺎﺩِﻱَ ﻟَﻪُ. ﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻻَ ﺇِﻟَﻪَ ﺇِﻻَّ ﺍﻟﻠﻪ ﻭَﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻣُﺤَﻤَّﺪًﺍ ﻋَﺒْﺪُﻩُ ﻭَﺭَﺳُﻮْﻟُﻪُ.

Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) murid kelas XI IPS 2 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. 

 

Daerah Istimewa Yogyakarta

Source : Google.com

SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Contoh Soal :

Contoh Soal 1

 

Kawat sepanjang 120 m akan dibuat kerangka seperti pada gambar dibawah ini. Agar luasnya maksimum panjang kerangka (p) tersebut adalah...

A. 16 m

B.  18 m

C.  20 m

D.  22 m

E.  24 m

Pembahasan :
Persamaan kerangka :
3p + 4l = 120
4l = 120 − 3p
l = 30 − $\frac{3}{4}$

p

Persamaan luas :
L = p × 2l
L = p × 2 (30 − $\frac{3}{4}$p)

L = 60p − $\frac{3}{2}$

p²

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
60 − 3p = 0
⇒ p = 20

Jadi, panjang kerangka agar luas maksimum adalah 20 m.

Jawaban : C

Contoh Soal 2

Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam $\left(4x-800+\frac{120}{x}\right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu...
A.  40 jam
B.  60 jam
C.  100 jam
D.  120 jam
E.  150 jam

Pembahasan :
Biaya per jam : 4x − 800 + $\frac{120}{x}$
Biaya untuk x jam :
B(x) = (4x − 800 + $\frac{120}{x}$)x
B(x) = 4x² − 800x + 120

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 800 = 0
⇒ x = 100

Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam.

Jawaban : C
 

Contoh Soal 3

Selembar karton berbentuk persegi panjang dengan lebar 5 dm dan panjang 8 dm akan dibuat kotak tanpa tutup. Pada keempat pojok karton dipotong persegi yang sisinya x dm. Ukuran kotak tersebut (panjang, lebar, tinggi) agar volume maksimum berturut-turut adalah...
A.  10 dm, 7 dm, 1 dm
B.  8 dm , 5 dm, 1 dm
C.  7 dm, 4 dm, 2 dm
D.  7 dm, 4 dm, 1 dm
E.  6 dm, 3 dm, 1 dm

Pembahasan :

Ukuran balok :

p = 8 − 2x
l = 5 − 2x
t = x

V = plt
V = (8 − 2x)(5 − 2x) x
V = (40 − 26x + 4x²) x
V = 4x³ − 26x² + 40x

Volume akan maksimum jika :
V' = 0
12x² − 52x + 40 = 0
3x² − 13x + 10 = 0
(3x − 10)(x − 1) = 0
x = $\frac{10}{3}$ atau x = 1

Untuk x = 1, maka
p = 8 − 2x = 8 − 2(1) = 6
l = 5 − 2x = 5 − 2(1) = 3
t = x = 1

Jadi, volume akan maksimum jika panjang, lebar dan tinggi balok berturut-turut 6 dm, 3 dm, 1 dm.

Jawaban : E

Contoh Soal 4

Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar $\left(9.000+1.000x+10x^2\right)$ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut adalah...
A.  Rp149.000,00
B.  Rp249.000,00
C.  Rp391.000,00
D.  Rp609.000,00
E.  Rp757.000,00

Pembahasan ;
Biaya produksi x produk : 9.000 + 1.000x + 10x²
Biaya penjualan x produk : 5.000x

Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi
L(x) = 5.000x − (9.000 + 1.000x + 10x²)
L(x) = 5.000x − 9.000 − 1.000x − 10x²
L(x) = −10x² + 4.000x − 9.000

Laba akan maksimum, jika :
L'(x) = 0
−20x + 4.000 = 0
⇒ x = 200

Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan laba maksimumnya adalah :
L(200) = −10(200)² + 4.000(200) − 9.000
L(200) = −400.000 + 800.000 − 9.000
L(200) = 391.000

Jawaban : C

Contoh Soal 5

Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya $\left(5x^2-10x+30\right)$ dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah...
A.  Rp10.000,00
B.  Rp20.000,00
C.  Rp30.000,00
D.  Rp40.000,00
E.  Rp50.000,00

Pembahasan :
Biaya produksi x unit : (5x² − 10x + 30)x
Biaya penjualan x unit : 50x
(kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah)

Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi
U(x) = 50x − (5x² − 10x + 30)x
U(x) = 50x − 5x³ + 10x² − 30x
U(x) = −5x³ + 10x² + 20x

Keuntungan akan maksimum jika :
U'(x) = 0
−15x² + 20x + 20 = 0 (bagi −5)
3x² − 4x − 4 = 0
(3x + 2)(x − 2) = 0
x = $\frac{3}{2}$ atau x = 2

Jadi, keuntungan akan maksimum jika perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya adalah :
U(2) = −5(2)³ + 10(2)² + 20(2)

U(2) = −40 + 40 + 40

U(2) = 40  (dalam ribuan rupiah)

Jawaban : D

Contoh Soal 6

Untuk memproduksi $x$ unit pakaian dalam satu hari diperlukan biaya produksi $(x^2+4x-10)$ ratus ribu rupiah. Harga jual pakaian itu tiap unitnya adalah $(20-x)$ ratus ribu rupiah. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah $\cdots \cdot$

A. Rp1.200.000,00        D. Rp2.000.000,00
B. Rp1.500.000,00        E. Rp2.200.000,00
C. Rp1.800.000,00

Pembahasan

Misalkan keuntungan ($U$

) dianggap sebagai fungsi terhadap variabel $x$ (ingat bahwa keuntungan didapat dengan mengurangi harga jual terhadap pengeluaran/biaya produksi), sehingga
$\begin{array}{cc}U\left(x\right)& =x(20-x)-(x^2+4x+10)\\ & =20x-x^2-x^2-4x+10\\ & =-2x^2+16x-10\end{array}$
Keuntungan akan maksimum apabila $U^{\prime }\left(x\right)=0$
$\begin{array}{cc}{U}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+16& =0\\ 4x& =16\\ x& =4\end{array}$
Keuntungan maksimum tercapai saat memproduksi 4 unit pakaian, yaitu
$\begin{array}{cc}U\left(4\right)& =-2(4{)}^2+16(4)-10\\ & =-32+64-10=22\end{array}$
Jadi, keuntungan maksimum yang dapat diperoleh setiap harinya adalah Rp2.200.000,00.
(Jawaban E)

Contoh Soal 7

Dari kawat yang panjangnya $500$ meter akan dibuat kerangka balok yang salah satu rusuknya $25$ meter. Jika volume baloknya maksimum, maka panjang dua rusuk lainnya adalah $\cdots$ meter. 
A. $10$ dan $90$                D. $40$ dan $60$
B. $15$ dan $85$                E. $50$ dan $50$
C. $25$ dan $75$

Pembahasan

Misalkan $p=25\text{meter}$

Nyatakan $l$ (lebar balok) dalam $t$ (tinggi balok) dengan menggunakan keliling balok ($k$) tersebut. 
$\begin{array}{cc}k& =500\\ 4(p+l+t)& =500\\ 25+l+t& =125\\ l+t& =100\\ l& =100-t\end{array}$
Nyatakan volume tabung ($V$) sebagai fungsi terhadap variabel $t$. 
$\begin{array}{cc}V\left(t\right)& =p\times l\times t\\ & =25\times (100-t)\times t\\ & =2.500t-25t^2\end{array}$
Volume balok akan maksimum saat $V^{\prime }\left(t\right)=0$, sehingga ditulis
$\begin{array}{cc}{V}^{\prime }\left(t\right)& =0\\ 2.500-50t& =0\\ 50t& =2.500\\ t& =50\end{array}$
Untuk $t=50$, maka $l=100-50=50$. 
Jadi, panjang dua rusuk lainnya adalah $50$ meter.
(Jawaban E)

 

Contoh Soal 8

Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan keliling $(2x+24)$ meter dan lebar $(8-x)$ meter. Agar luas taman maksimum, panjang taman tersebut adalah $\cdots$ meter. 
A. $4$                      C. $10$                  E. $13$
B. $8$                      D. $12$

           

Pembahasan

Panjang taman tersebut dapat ditentukan dengan menggunakan keliling dan lebarnya. 
$\begin{array}{cc}k& =2(p+l)\\ 2x+24& =2(p+8-x)\\ x+12& =p+8-x\\ p& =2x+4\end{array}$

Nyatakan luas persegi panjang sebagai fungsi terhadap variabel $x$.
$\begin{array}{cc}L\left(x\right)& =p\times l\\ & =(2x+4)(8-x)\\ & =-2x^2+12x+32\end{array}$ 
Luas akan maksimum saat $L^{\prime }\left(x\right)=0$, sehingga
$\begin{array}{cc}{L}^{\prime }\left(x\right)& =0\\ -4x+12& =0\\ 4x& =12\\ x& =3\end{array}$
Saat $x=3$, diperoleh
$\begin{array}{cc}p& =2x+4\\ p& =2\left(3\right)+4=10\end{array}$
Jadi, panjang taman tersebut adalah $10\text{meter}$
(Jawaban C)

Contoh Soal 9

Sebuah taman berbentuk persegi dengan keliling $\left(2x+24\right)$ m dan lebar $\left(8-x\right)$. Agar luas taman maksimum, maka panjang taman tersebut adalah...
A.  4 m
B.  8 m
C.  10 m
D.  12 m
E.  13 m

Pembahasan :
K = 2x + 24 = 2(x + 12)
l = 8 − x

K = 2(p + l)
2(x + 12) = 2(p + 8 − x)
x + 12 = p + 8 − x
p = 2x + 4

L = p . l
L = (2x + 4)(8 − x)
L = −2x² + 12x + 32

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
−4x + 12 = 0
⇒ x = 3

p = 2x + 4
p = 2(3) + 4
p = 10

Jadi, panjang taman agar luas maksimum adalah 10 m.

Jawaban : C

Contoh Soal 10

Dua bilangan m dan n memenuhi hubungan 2m − n = 40. Nilai minimum dari $p=m^2+n^2$ adalah...
A.  320
B.  295
C.  280
D.  260
E.  200

Pembahasan :
2m − n = 40
n = 2m − 40

p = m² + n²
p = m² + (2m − 40)²
p = m² + 4m² − 160m + 1600
p = 5m² − 160m + 1600

p akan minimum jika :
p' = 0
10m − 160 = 0
⇒ m = 16

n = 2m − 40
n = 2(16) − 40
⇒ n = −8

p = m² + n²
p = 16² + (−8)²
p = 320

Jawaban : A

Contoh Soal 11

Icha akan meniup balon karet  berbentuk bola. Ia menggunakan pompa untuk memasukkan udara dengan laju pertambahan volume udara 40 cm²/detik. Jika laju pertambahan jari-jari bola 20 cm/detik, jari-jari bola setelah ditiup adalah...
A.  $\frac{1}{\sqrt{\pi }}$ cm
B.  $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$ cm
C.  $\frac{1}{2\sqrt{\pi }}$ cm
D.  $\frac{2}{3\sqrt{\pi }}$ cm
E.  $\pi$ cm

Pembahasan :
Laju pertambahan volume udara :
$\frac{dV}{dt}$ = 40

Laju pertambahan jari-jari bola :
$\frac{dr}{dt}$ = 20

Volume bola :
V = $\frac{4}{3}$πr³
$\frac{dV}{dr}$ = 4πr²

Dengan aturan rantai :
$\frac{dV}{dt}$ = $\frac{dV}{dr}$ × $\frac{dr}{dt}$
40 = 4πr² × 20
1 = 2πr²

r² = $\frac{1}{2\pi }$

r = $\sqrt{\frac{1}{2\pi }}$
r = $\frac{1}{\sqrt{2\pi }}$

Jawaban : B

Contoh Soal 12

Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?
A.  80.000 m²
B.  40.000 m²
C.  20.000 m²
D.  5.000 m²
E.  2.000 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang area tanah p dan lebar l
Area tanah yang akan dibatasi pagar adalah (p + 2l)

Perhatikan bentuk pagar, karena kawat yang digunakan 4 baris maka
4(p + 2l) = 800
p + 2l = 200
p = 200 − 2l

L = p × l
L = (200 − 2l) × l
L = 200l − 2l²

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
200 − 4l = 0
⇒ l = 50

p = 200 − 2l
p = 200 − 2(50)
⇒ p = 100

L = p × l
L = 100 × 50
L = 5000

Jadi luas maksimum adalah 5000 m²

Jawaban : D

Contoh Soal 13

Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat). Luas maksimum kandang adalah ...
A.  360 m²
B.  400 m²
C.  420 m²
D.  450 m²
E.  480 m²

Pembahasan :
Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l.

Persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang :
p + 4l = 80   →  p = 80 - 4l

Persamaan luas kandang :
L = pl   
L = (80 - 4l)l   
L = 80l - 4l²

Turunan pertama L terhadap l :
L' = 80 - 8l

Luas akan maksimum jika L' = 0
80 - 8l = 0
80 = 8l
l = 10

Jadi, luas akan maksimum jika l = 10, dengan luas maksimumnya adalah
L = 80(10) - 4(10)²
L = 800 - 400
L = 400

Jawaban : B

Contoh Soal 14

Sebuah tabung tanpa tutup yang terbuat dari lempengan tipis dapat memuat air sebanyak 27π cm². Luas permukaan tabung akan minimum jika jari-jari tabung sama dengan ...
A.  9 cm
B.  8 cm
C.  6 cm
D.  4 cm
E.  3 cm

Pembahasan :
Persamaan volume tabung :
V = πr² t
27π = πr² t
27 = r² t
t = $\frac{27}{r^2}$

Persamaan luas tabung tanpa tutup :

L = πr² + 2πrt

L = πr² + 2πr($\frac{27}{r^2}$)
L = πr² + $\frac{54\pi }{r}$

Turunan pertama L terhadap r :
L' = 2πr - $\frac{54\pi }{r^2}$ 

Luas akan minimum jika L' = 0
2πr - $\frac{54\pi }{r^2}$ = 0  (kali r²)
2πr³ - 54π = 0
2πr³ = 54π
r³ = 27
⇒  r = 3

Jawaban : E

Contoh Soal 15

Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm², volume maksimum akuarium tersebut adalah ...
A.  3.600 cm³
B.  5.400 cm³
C.  6.300 cm³
D.  7.200 cm³
E.  8.100 cm³

Pembahasan :
$\frac{p}{l}$ = $\frac{2}{3}$→   p = $\frac{2}{3}$l

Persamaan luas akuarium tanpa tutup :
pl + 2pt + 2lt = 1.800
($\frac{2}{3}$l)l + 2($\frac{2}{3}$l)t + 2lt = 1.800  (kali 3)
2l² + 4lt + 6lt = 5400
2l² + 10lt = 5400
10lt = 5400 - 2l²
t = $\frac{540}{l}$ - $\frac{1}{5}$l

Persamaan volume akuarium :
V = plt
V = $\frac{2}{3}$l . l . ($\frac{540}{l}$ - $\frac{1}{5}$l)
V = 360l - $\frac{2}{15}$l³

Turunan pertama V terhadap l :
V' = 360 - $\frac{6}{15}$l²

Volume akan maksimum jika V' = 0
360 - $\frac{6}{15}$l² = 0
360 = $\frac{6}{15}$l²
l² = 900
l = 30

Jadi, volume maksimum aquarium adalah
V = 360(30) - $\frac{2}{15}$(30)³
V = 10.800 - 3.600
V = 7.200

Jawaban : D

 

Terima kasih kepada Ibu DR Lizza Novrida, semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkati tuhan yang maha esa.
Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

DAFTAR PUSTAKA

Maker, Z. (2016, Oktober 2016). Pembahasan Soal UN Aplikasi Turunan. Retrieved from smatika.blogspot.com: https://smatika.blogspot.com/2016/10/pembahasan-soal-ujian-nasional-aplikasi.html

S.Pd, S. (2019, Maret 5). Soal dan Pembahasan – Aplikasi Turunan (Diferensial). Retrieved from mathcyber1997.com: https://mathcyber1997.com/soal-dan-pembahasan-aplikasi-turunan-diferensial/

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) XI IPS 2

Shalom

Om Swastiastu 

Namo Buddhaya 

Rahayu 

Salam Kebajikan 

Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

السَّلاَمُ عَلَيْكُمْ وَرَحْمَةُ اللهِ وَبَرَكَاتُهُ

ﺇِﻥَّ ﺍﻟْﺤَﻤْﺪَ ﻟِﻠَّﻪِ ﻧَﺤْﻤَﺪُﻩُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻌِﻴْﻨُﻪُ ﻭَﻧَﺴْﺘَﻐْﻔِﺮُﻩْ ﻭَﻧَﻌُﻮﺫُ ﺑِﺎﻟﻠﻪِ ﻣِﻦْ ﺷُﺮُﻭْﺭِ ﺃَﻧْﻔُﺴِﻨَﺎ ﻭَﻣِﻦْ ﺳَﻴِّﺌَﺎﺕِ ﺃَﻋْﻤَﺎﻟِﻨَﺎ، ﻣَﻦْ ﻳَﻬْﺪِﻩِ ﺍﻟﻠﻪُ ﻓَﻼَ ﻣُﻀِﻞَّ ﻟَﻪُ ﻭَﻣَﻦْ ﻳُﻀْﻠِﻞْ ﻓَﻼَ ﻫَﺎﺩِﻱَ ﻟَﻪُ. ﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻻَ ﺇِﻟَﻪَ ﺇِﻻَّ ﺍﻟﻠﻪ ﻭَﺃَﺷْﻬَﺪُ ﺃَﻥَّ ﻣُﺤَﻤَّﺪًﺍ ﻋَﺒْﺪُﻩُ ﻭَﺭَﺳُﻮْﻟُﻪُ.

Saya akan memperkenalkan diri. Saya Paisal Vieri Eka Tama Simbolon (28) murid kelas XI IPS 2 di Sekolah Menengah Atas Negeri 63 Jakarta. 

 

 

Tegalwangi

Source : GNFI

 

PENERAPAN TURUNAN: KEMONOTONAN, INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN, KECEKUNGAN DAN UJI TURUNAN KEDUA

A. KEMONOTONAN

Suatu fungsi dapat mengalami monoton naik atau monoton turun pada interval tertentu. Kemonotonan suatu fungsi pada interval tertentu dapat diketahui berdasarkan turunannya. Suatu fungsi monoton naik jika turunan fungsi pada interval tersebut lebih besar dari 0.

Definisi Monoton
Suatu fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika

untuk semua x₁<x₂ berlaku f(x₁) < f(x₁) 

Suatu fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika
untuk semua x₁<x₂ berlaku f(x₁) > f(x₁)

Teorema Kemonotonan

Suatu fungsi dikatakan monoton naik pada interval I jika

f'(x) > 0 untuk semua x pada interval I

Suatu fungsi dikatakan monoton turun pada interval I jika

f'(x) < 0 untuk semua x pada interval I

B. INTERVAL FUNGSI NAIK/TURUN

Fungsi Naik dan Turun

Pertama, kita definisikan suatu fungsi dapat dikatakan sebagai fungsi naik atau fungsi turun. Perhatikan definisi berikut.

---

Definisi Fungsi Naik dan Turun

Suatu fungsi f dikatakan naik pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x₁ dan x₂ dalam selang tersebut, x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) < f(x₂).

Suatu fungsi f dikatakan turun pada suatu selang jika untuk sembarang dua bilangan x₁ dan x₂ dalam selang tersebut, x₁ < x₂ mengakibatkan f(x₁) > f(x₂).

---

Suatu fungsi dikatakan naik jika x bergerak ke kanan, grafik fungsi tersebut bergerak ke atas, dan turun jika grafik fungsi tersebut bergerak ke bawah. Sebagai contoh, fungsi di samping naik pada selang (–∞, a), konstan pada selang (a, b), dan turun pada selang (b, ∞). Seperti yang ditunjukkan Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun di bawah ini, turunan positif akan mengakibatkan suatu fungsi akan naik, turunan negatif akan mengakibatkan fungsi tersebut turun, dan turunan nol pada seluruh selang akan mengakibatkan fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

---

Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang tutup [a, b] dan terdiferensialkan pada selang buka (a, b).

1. Jika f ’(x) > 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f naik pada [a, b].
2. Jika f ’(x) < 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f turun pada [a, b].
3. Jika f ’(x) = 0 untuk semua x dalam (a, b), maka f konstan pada [a, b].

---

Pembuktian

Kasus 1: Untuk membuktikan kasus pertama, anggap bahwa f ’(x) > 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x₁ < x₂ adalah sembarang dua titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x₁ < c < x₂, dan

Karena f ’(c) > 0 dan x₂ – x₁ > 0, maka f(x₂) – f(x₁) > 0, yang mengakibatkan bahwa f(x₁) < f(x₂). Jadi, f naik pada selang tersebut.

Kasus 2: Untuk kasus ini, kita dapat membuktikannya dengan menggunakan alur yang serupa dengan kasus 1.

Kasus 3: Misalkan f ’(x) = 0 untuk semua x dalam selang (a, b) dan misalkan x₁ < x₂ adalah sembarang duat titik dalam selang tersebut. Berdasarkan Teorema Nilai Rata-Rata, kita tahu bahwa ada suatu bilangan c sedemikian sehingga x₁ < c < x₂, dan

Karena f ’(c) = 0 maka f(x₁) – f(x₂) = 0, yang berakibat f(x₁) = f(x₂). Jadi, fungsi tersebut tidak naik ataupun tidak turun. Dengan kata lain, fungsi tersebut konstan pada selang tersebut.

C. KECEKUNGAN

Kecekungan

Karakteristik suatu fungsi yang naik atau turun dapat kita gunakan untuk mendeskripsikan grafik fungsi tersebut. Selain itu, apabila kita tahu dimana letak selang yang membuat f ’ naik atau turun maka kita dapat menentukan di mana grafik fungsi f akan cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Definisi Kecekungan

Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Grafik f akan cekung ke atas pada I jika f ’ naik pada selang tersebut dan akan cekung ke bawah pada I jika f ’ turun pada selang tersebut.

Interpretasi grafis kecekungan dari suatu fungsi berikut akan sangat berguna.

1. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke atas pada I, maka grafik f berada di atas semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (a) di bawah).
2. Misalkan f terdiferensialkan pada selang buka I. Jika grafik f cekung ke bawah pada I, maka grafik f berada di bawah semua garis singgungnya pada selang tersebut. (Lihat gambar (b) di bawah).

Untuk menemukan selang buka di mana suatu grafik fungsi f cekung ke atas atau cekung ke bawah, kita harus menemukan selang di mana f ’ naik atau turun. Sebagai contoh, grafik

akan terbuka ke bawah pada selang buka (–∞, 0) karena

turun pada selang tersebut. Demikian pula, grafik f akan cekung ke atas pada selang (0, ∞) karena f ’ naik pada selang tersebut. Perhatikan gambar di bawah.

Teorema berikutnya menunjukkan bagaimana penggunaan turunan kedua suatu fungsi untuk menentukan selang di mana grafik f tersebut cekung ke atas atau cekung ke bawah. Bukti teorema ini merupakan akibat langsung dari Teorema Uji Fungsi Naik dan Turun, dan definisi kecekungan.

---

Teorema Uji Kecekungan

Misalkan f adalah suatu fungsi yang turunan keduanya ada pada selang buka I.

1. Jika f ”(x) > 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke atas pada I.
2. Jika f ”(x) < 0 untuk semua x dalam I, maka grafik f cekung ke bawah pada I.

---

Untuk menerapkan Teorema Uji Kecekungan, tentukan lokasi nilai-nilai x sedemikian sehingga f ”(x) = 0 atau f ” tidak ada. Gunakan nilai-nilai x tersebut untuk menentukan selang uji. Kemudian, ujilah tanda f ”(x) pada masing-masing selang uji.

Contoh 1: Menentukan Kecekungan

Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik

cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Pembahasan Jelas bahwa fungsi yang diberikan kontinu pada seluruh garis bilangan real. Selanjutnya, kita tentukan turunan kedua fungsi f.

Karena f ”(x) = 0 ketika x = ±1 dan f ” terdefinisi pada keseluruhan garis bilangan real, kita harus menguji f ” dalam selang (–∞, –1), (–1, 1), dan (1, ∞). Hasil pengujian ketiga selang tersebut dirangkum dalam tabel berikut.

Selang	–∞ < x < –1	–1 < x < 1	1 < x < ∞
Nilai Uji	x = –2	x = 0	x = 0
Tanda f ”(x)	f ”( –2) > 0	f ”(0) < 0	f ”(2) > 0
Kesimpulan	Cekung ke atas	Cekung ke bawah	Cekung ke atas

Grafik fungsi f dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Fungsi yang diberikan dalam Contoh 1 kontinu pada keseluruhan garis bilangan real. Jika ada nilai-nilai x yang menyebabkan fungsi tidak kontinu, nilai-nilai tersebut harus digunakan bersama dengan titik-titik yang menyebabkan f ”(x) = 0 atau f ”(x) tidak ada, untuk membentuk selang-selang uji.

Contoh 2: Menentukan Kecekungan

Tentukan selang buka sedemikian sehingga grafik

cekung ke atas atau cekung ke bawah.

Pembahasan Dengan menurunkan fungsi yang diberikan dua kali, dihasilkan

Berdasarkan turunan kedua f tersebut, kita dapat melihat bahwa tidak ada nilai x yang menyebabkan f ”(x) = 0, tetapi pada x = ±2, fungsi f tidak kontinu. Jadi, kita harus menguji kecekungan pada selang-selang (–∞,–2), (–2, 2), dan (2, ∞), seperti yang ditunjukkan tabel berikut.

Selang	–∞ < x < –2	–2 < x < 2	2 < x < ∞
Nilai Uji	x = –3	x = 0	x = 3
Tanda f ”(x)	f ”( –3) > 0	f ”(0) < 0	f ”(3) > 0
Kesimpulan	Cekung ke atas	Cekung ke bawah	Cekung ke atas

Grafik fungsi f ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Titik Belok

Grafik fungsi pada Contoh 1 memiliki dua titik di mana kecekungan grafik tersebut berubah. Jika grafik suatu fungsi memiliki garis singgung pada titik yang seperti itu, maka titik tersebut dinamakan titik belok. Tiga jenis titik belok dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Definisi Titik Belok

Misalkan f adalah fungsi yang kontinu pada selang buka, dan c adalah titik pada selang tersebut. Jika grafik f memiliki garis singgung pada titik (c, f(c)), maka titik ini merupakan titik belok grafik f ketika kecekungan f berubah dari cekung ke atas menjadi cekung ke bawah (atau sebaliknya) pada titik tersebut.

Untuk menentukan letak titik belok, kita tentukan nilai x yang membuat f ”(x) = 0 atau f ”(x) tidak ada. Hal ini serupa dengan prosedur dalam menentukan letak titik ekstrim lokal f.

Teorema Titik Belok

Jika (c, f(c)) merupakan titik belok grafik f, maka f ”(c) = 0 atau f ” tidak ada pada x = c.

Contoh 3: Menemukan Titik Belok

Tentukan titik-titik belok grafik,

dan tentukan kecekungan grafik fungsi tersebut.

Pembahasan Untuk menentukan titik-titik belok grafik fungsi yang diberikan, pertama kita tentukan turunan kedua fungsi tersebut.

Dengan membuat f ”(x) = 0, kita dapat menentukan bahwa kemungkinan titik-titik beloknya terjadi pada x = 0 dan x = 2. Dengan menguji selang yang ditentukan oleh nilai-nilai x tersebut, kita bisa menyimpulkan bahwa kedua titik tersebut merupakan titik-titik belok grafik f. Perhatikan tabel berikut.

Selang	–∞ < x < 0	0 < x < 2	2 < x < ∞
Nilai Uji	x = –1	x = 1	x = 3
Tanda f ”(x)	f ”( –1) > 0	f ”(1) < 0	f ”(3) > 0
Kesimpulan	Cekung ke atas	Cekung ke bawah	Cekung ke atas

Jadi, grafik fungsi f memiliki titik belok pada (0, 0) dan (2, –16). Grafik fungsi f dapat ditunjukkan oleh gambar di bawah ini.

Konvers Teorema Titik Belok tidak sepenuhnya benar, karena terdapat kemungkinan bahwa turunan kedua suatu fungsi pada titik tertentu sama dengan nol tetapi titik tersebut bukanlah titik belok. Misalnya, grafik f(x) = x⁴ seperti yang ditunjukkan gambar di bawah. Turunan kedua fungsi tersebut sama dengan nol ketika x = 0, tetapi titik (0, 0) bukanlah titik belok karena grafik f cekung ke atas pada selang (–∞, 0) dan (0, ∞).

D. UJI TURUNAN KEDUA

Uji Turunan Kedua

Sebagai tambahan untuk menguji kecekungan, turunan kedua dapat digunakan untuk untuk melakukan pengujian terhadap maksimum dan minimum lokal. Pengujian ini berdasarkan fakta bahwa jika suatu grafik fungsi f cekung ke atas pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah minimum lokal f. Demikian juga, jika grafik suatu fungsi f cekung ke bawah pada selang buka yang memuat c, dan f ’(c) = 0, maka f(c) haruslah maksimum lokal f. Perhatikan gambar di bawah ini.

---

Teorema Uji Turunan Kedua

Misalkan f fungsi kontinu sedemikian sehingga f ’(c) = 0 dan turunan keduanya ada pada selang buka yang memuat c.

1. Jika f ”(c) > 0, maka f memiliki minimum lokal pada (c, f(c)).
2. Jika f ”(c) < 0, maka f memiliki maksimum lokal pada (c, f(c)).

Jika f ”(c) = 0, maka pengujiannya gagal, atau dengan kata lain, f mungkin memiliki maksimum lokal, minimum lokal, atau tidak memiliki keduannya. Pada kasus ini, kita harus menggunakan Uji Turunan Pertama.

---

Pembuktian Jika f ’(c) = 0 dan f ”(c) > 0, maka ada selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga

untuk semua x ≠ c dalam I. Jika x < c, maka f ’(x) < 0. Demikian juga, jika x > c, maka x – c > 0 dan f ’(x) > 0. Jadi, f ’(x) berubah dari negatif menjadi positif pada c, dan berdasarkan Uji Turunan Pertama, f(c) merupakan minimum lokal f. Pembuktian kasus kedua serupa dengan pembuktian kasus pertama tersebut.

Contoh 4: Menggunakan Uji Turunan Kedua

Tentukan ekstrim lokal

Pembahasan Pertama kita tentukan turunan pertama fungsi tersebut.

Berdasarkan turunan ini, kita dapat melihat bahwa hanya x = –1, 0, dan 1 yang menjadi nilai kritis f. Dengan menemukan turunan keduanya

kita dapat menerapkan Uji Turunan Kedua seperti yang ditunjukkan oleh tabel berikut.

Titik	(–1, –2)	(0, 0)	(1, 2)
Tanda f ”(x)	f ”( –1) > 0	f ”(0) = 0	f ”(1) < 0
Kesimpulan	Minimum lokal	Uji gagal	Maksimum lokal

Karena Uji Turunan Kedua gagal pada (0, 0), kita dapat menggunakan Uji Turunan Pertama dan melihat bahwa f naik dari kiri ke kanan x = 0. Sehingga, (0, 0) bukanlah minimum lokal ataupun maksimum lokal. Grafik f tersebut ditunjukkan oleh gambar berikut.

Terima kasih kepada Ibu DR Lizza Novrida, semoga apa yang pelajari hari memberikan manfaat dikemudian hari dan diberkati tuhan yang maha esa.
Wassalamualaikum Warahmatullahi Wabarakatuh
Shalom
Om Swastiastu
Namo Buddhaya
Rahayu
Salam Kebajikan
Salam Sejahtera Untuk Seluruh Alam

DAFTAR PUSTAKA

Admin. (2019, April 29). Kemonotonan Fungsi . Retrieved from www.rahmateduc.com: https://www.rahmateduc.com/2019/04/kemonotonan-fungsi_24.html?m=1

Iqbalzazuli. (2016, April 25). Penerapan Turunan: Kecekungan dan Uji Turunan Kedua. Retrieved from iqbalzazuli.wordpress.com: https://iqbalzazuli.wordpress.com/2016/04/25/penerapan-turunan-kecekungan-dan-uji-turunan-kedua/

Kristanto, Y. D. (2015, Maret 24). Penerapan Turunan: Fungsi Naik dan Turun serta Uji Turunan Pertama. Retrieved from yos3prens.wordpress.com: https://yos3prens.wordpress.com/2015/03/24/penerapan-turunan-fungsi-naik-dan-turun-serta-uji-turunan-pertama/